[答案] 2020 [解析] 由
x2
＝x，得ax＋(2a－1)x＝0，
ax＋2
∵f(x)有唯一不动点， 1
∴2a－1＝0，即a＝，
2∴f(x)＝
2x12xn＋11，∴xn＋1＝＝＝xn＋. x＋222?1?
f??
?xn?
1
∴x2020＝x1＋×2020＝1007＋1006＝2020.
2(理)自然数按下表的规律排列
则上起第15行，左起第16列的数为________． [答案] 240
[解析] 经观察可得这个自然数表的排列特点：
①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n；
②第一行第n个数为(n－1)＋1；
③第n行从第1个数至第n个数依次递减1； ④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.
则上起第15行，左起第16列的数应为第16列的第15个数，即为[(16－1)＋1]＋14＝15＋1＋14＝15×16＝240.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2020·上海理)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数
2
2
2
2
单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
[解析] (z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i
设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i， ∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
17．(本小题满分12分)(2020·合肥模拟)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．
[分析] 题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体．
[解析] 程序框图如图所示：
[点评] 设计程序框图，首先由题意选择合适的结构，再确定本结构需要的条件． 18．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m－2m－2)＋(m＋3m＋2)i，当实数m取何值时． (1)z是纯虚数． (2)z是实数．
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
??lgm－2m－2
[解析] (1)由题意知?2
?m＋3m＋2≠0.?
2
2
2
＝0，
解得m＝3.
所以当m＝3时，z是纯虚数．
(2)由m＋3m＋2＝0， 得m＝－1或m＝－2，
又m＝－1或m＝－2时，m－2m－2>0， 所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
??lgm－2m－2(3)由?2
??m＋3m＋2>0.
2
2
2
<0，
m－2m－2>0??2
即?m－2m－3<0??m2＋3m＋2>0
2
解得：－1 所以当－1 19．(本小题满分12分)求证关于x的方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是 2 a≤1. [分析] 需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a＝0，a<0和0 [证明] 充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0， 1 其根为x＝－，方程有一个负根，符合题意． 2 12 当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程ax＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且<0，方程有一正 a一负根，符合题意．当0 方程ax＋2x＋1＝0有实根， 2－<0??a且?1??a>0 2 ，故方程有两个负根，符合题意． 综上知：当a≤1时，方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根． 必要性：若方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根． 当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意． 当a≠0时，方程ax＋2x＋1＝0应有一正一负或两个负根． 22 2 ?2?－<01 则<0或?aa1??a>0Δ＝4－4a≥0 .解得a<0或0 综上知：若方程ax＋2x＋1＝0至少有一负根则a≤1. 故关于x的方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1. [点评] 在证必要性时，易忽视a＝0的情况而导致得不到结果，出现这种现象的原因是忽视了一元二次方程对二次项系数的要求． 20．(本小题满分13分)(1)设x是正实数，求证： (x＋1)(x＋1)(x＋1)≥8x； (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x＋1)(x＋1)≥8x是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值． [解析] (1)x是正实数，由基本不等式知 2 3 3 2 3 3 2 2 x＋1≥2x，x2＋1≥2x，x3＋1≥2x3， 故(x＋1)(x＋1)(x＋1)≥2x·2x·2x＝8x(当且仅当x＝1时等号成立)． (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x＋1)(x＋1)≥8x仍然成立． 由(1)知，当x>0时，不等式成立； 当x≤0时，8x≤0， 而(x＋1)(x＋1)(x＋1) ＝(x＋1)(x＋1)(x－x＋1) 12322 ＝(x＋1)(x＋1)[(x－)＋]≥0. 24此时不等式仍然成立． 21．(本小题满分14分)(2020·贵阳一模)已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 ＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1. (1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求证：数列{bn}是等比数列； (2)设cn＝n(n＝1,2，…)，求证：数列{cn}是等差数列； 2(3)(理)求数列{an}的通项公式及前n项和公式． [解析] (1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2， 两式相减，得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)， 即an＋2＝4an＋1－4an， 变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)． ∵bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，∴bn＋1＝2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列． (2)证明：由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1， ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3， an
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