初中最短路径问题

初中最短路径问题

最短路径问题（珍藏版）

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成

的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平

移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】 【问题 1】 作法 图形 原理 两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 AB． 连 AB，与 l 交点即为 P． 在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小． 【问题 2】“将军饮马” 作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小． A B＇，与 l 交点即为 P． 作 B 关于 l 的对称点 B＇ 连 两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 A B＇． 【问题 3】 作法 图形 原理

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两点之间线段最短． PM+MN+PN 的最小值为线段 P＇P＇＇的长． 分别作点 P 关于两直线的 在直线l1 最小． 对称 P＇ ， 、l2 上分别求点 点M、N，使△PMN 的周长【问题 4】 作法 图形 原理 两点之间线段最短． 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P＇P＇＇的长． 分别作点 Q 、P 关于直线 在直线l1 l1 、l2 的对称点 Q＇和 P＇ 、l2 上分别求点 连 Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N． M 、N，使四边形 PQMN 的周长最小．

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