19．（本小题满分14分）
某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且 这两种情况发生的概率分别为
72和； 99311、和． 5315项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？
（参考数据：lg2?0.3010，lg3?0.4771）
解：（1）若按“项目一”投资，设获利?1万元，则?1的分布列为
?1 P 300 7 9?150 2 972?E?1?300??(?150)??200（万元）. ?????????2分
99若按“项目二”投资，设获利?2万元，则?2的分布列为：
?2 P 500 3 5?300 1 30 1 15311?E?2?500??(?300)??0??200（万元）. ?????????4分
53157222又D?1?(300?200)??(?150?200)??35000， ?????????5分
99311D?2?(500?200)2??(?300?200)2??(0?200)2??140000，?????????6分
5315所以E?1?E?2，D?1?D?2，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． ?????????8分 （2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意：1000(1?两边取对数得：n?200n)?2000，即1.2n?2，???10分 1000lg20.3010??3.8053．
2lg2?lg3?12?0.3010?0.4771?1所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． ?????????13分 答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．???????14分 说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识解决实际问题
的能力．
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20．（本小题满分14分）
已知A、B分别是直线y?33x和y??x上的两个动点，线段AB的长为23， 33P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若
??????????????????RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值． 解：（1）设P(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)．
x1?x2?x?,??2∵P是线段AB的中点，∴? ??????????2分
?y?y1?y2.??233x和y??x上的点， 3333x2． x1和y2??∴y1?33?x1?x2?23y,?∴?23 ??????????4分
x.?y1?y2?3?????22又AB?23，∴(x1?x2)?(y1?y2)?12． ??????????5分
∵A、B分别是直线y?∴12y?242x?12， 3x2?y2?1． ??????????6分 ∴动点P的轨迹C的方程为9（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y?k(x?1)． ?????????7分 设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5)，
?y?k(x?1),?则M、N两点坐标满足方程组?x2 2?y?1.??92222消去y并整理，得(1?9k)x?18kx?9k?9?0， ??????????9分
9k2?918k2∴x3?x4?， ① x3x4?． ② ??????????10分 221?9k1?9k∵RM??MQ，∴(x3,y3)?(0,y5)???(1,0)?(x3,y3)?．
?x3??(1?x3),∴x3??(1?x3)．∵l与x轴不垂直，∴x3?1，
y?y???y.53?3x3x4∴??，同理??． ??????????12分
1?x31?x4(x?x)?2x3x4x3x?4?34∴????． 1?x31?x41?(x3?x4)?x3x4即?2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准 第 6 页 共 9页
将①②代入上式可得?????9． ??????????14分 4说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力． 21．（本小题满分14分）
在单调递增数列{an}中，a1?1，a2?2，且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，n?1,2,3,?．
a3a5a4a6,,和的值； a1a3a2a4（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
14n（3）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn?，n?N*．
ann?29解：解：（1）由已知，得a3?3，a5?6，a4?，a6?8 . ??????????2分
221?262?3123?4（2）（证法1）a1??，a3??，a5?，……； ?222222（1）分别计算
223242，a4?，a6?，……. a2?222∴猜想a2n?1(n?1)2n(n?1),a2n?，n?N*， ??????????4分 ?2222??2，猜想成立； 2(k?1)2k(k?1),a2k?， ?22以下用数学归纳法证明之． ①当n?1时，a2?1?1?a1?1，a2?1②假设n?k(k?1,k?N*)时，猜想成立，即a2k?1那么
(k?1)2k(k?1)(k?1)?(k?1)?1?a2(k?1)?1?a2k?1?2a2k?a2k?1?2???,
2222?(k?1)(k?2)?222(k?1)?1a??(k?2)2a2(k?1)?a2k?2?2k?1???.
a2k22(k?1)22∴n?k?1时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，猜想成立． ???????6分
n?1?n?1??1??2?2??(n?1)(n?3)∴当n为奇数时，an?；
282?n???1?(n?2)22???当n为偶数时，an?．
282010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准 第 7 页 共 9页
?(n?1)(n?3),n为奇数??8即数列{an}的通项公式为an??． ????????9分 2(n?2)?,n为偶数??87?(?1)n121（注：通项公式也可以写成an?n?n?）
8216a（证法2）令bn?2n?1，n?N*，则
a2n?12a22?k?1?a2k?1a2a?a2k?1a2k2abn?1?2k?3?2k?2??2k?1?1
a2k?1a2k?1a2k?1a2ka4?2k?12a2k?1a2k?14bn??1??1??1． a2k?1?a2k?1a2k?11?bn1?2a2k?12(bn?1)(b?1)?2111?n??∴bn?1?1?，．
1?bnbn?1?12(bn?1)2bn?111111??（常数）?， 从而，n?N*，又
bn?1?1bn?12b1?121111n11}是首项为，公差为的等差数列，∴??(n?1)??， 故{bn?1bn?122222an?2n?2解之，得bn?，即2n?1?，n?N*． ??????????6分
a2n?1nnaaaaa∴a2n?1?a1?3?5?7???2n?3?2n?1
a1a3a5a2n?5a2n?3345nn?1n(n?1)， ?1????????123n?2n?12n(n?1)(n?1)(n?2)?a2n?1?a2n?1(n?1)222从而a2n?．（余同法1）????????8分 ??222aa（注：本小题解法中，也可以令bn?2n?2，或令bn?2n，余下解法与法2类似）
a2na2n?18?,n为奇数?1?(n?1)(n?3)??（3）（法1）由（2），得． an?8,n为偶数2??(n?2)144?1?1??显然，S1?； ??????????10分 a131?2当n为偶数时，
?11111111?Sn?8??2??2??2???? 2?4?666?88n?(n?2)(n?2)??2?442010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准 第 8 页 共 9页
??1???1??11??11?11?8??????????????????n?(n?2)n(n?2)??? 2?42?44?64?66?86?8????????????11??11??11?1???1?8???????????????????
244668nn?2??????????1?4n?1； ??????????12分 ?8?????2n?2?n?214(n?1)8当n为奇数（n?3）时，Sn?Sn?1? ??an(n?1)?2(n?1)(n?3)??n?14n2n?4n84n?4???????n?2(n?1)(n?2)(n?3)n?2. n?2n?1(n?1)(n?3)n?2??4n综上所述，Sn?，n?N*． ??????????14分
n?28?,n为奇数?(n?1)(n?3)1???（解法2）由（2），得． an?8,n为偶数2?(n?2)?4n以下用数学归纳法证明Sn?，n?N*．
n?2144?1?1??①当n?1时，S1?； a131?211134?2当n?2时，S2?．∴n?1,2时，不等式成立．??11分 ??1???2?a1a2222?24k②假设n?k(k?2)时，不等式成立，即Sk?，
k?2那么，当k为奇数时，
14k8Sk?1?Sk???
ak?1k?2(k?3)2?k4(k?1)2k?1?4(k?1)84(k?1)?4??????； ?22k?3k?3?k?3(k?2)(k?3)(k?1)?2?k?2(k?3)当k为偶数时，
14k8Sk?1?Sk???
ak?1k?2(k?2)(k?4)??k4(k?1)2k?1?4(k?1)8?4??????k?3k?3(k?2)(k?3)(k?4)?k?2(k?2)(k?4)k?3?4(k?1)?． (k?1)?2?∴n?k?1时，不等式也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，不等式Sn?
4n成立．??14分 n?2
说明：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查． 命题人：李志敏、康达军、姚亮 审题人：石永生
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