3．（2018江苏）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1?0,b1?1,q?2，若|an?bn|?b1对n?1,2,3,4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1?b1?0,m?N*,q?(1,m2]，证明：存在d?R，使得|an?bn|?b1对n?2,3,L,m?1均成立，并求d的取值范围（用b1,m,q表示）．
?75?【答案】（1）d的取值范围为?,?；
?32??b1?qm?2?bqm?（2）d的取值范围为?,1?，证明见解析．
mm????【解析】（1）由条件知：an??n?1?d，bn?2n?1． 因为an?bn?b1对n?1，2，3，4均成立， 即?n?1?d?2n?1?1对n?1，2，3，4均成立， 即1?1，1?d?3，3?2d?5，7?3d?9，得
?75?因此，d的取值范围为?,?．
?32?75?d?． 32（2）由条件知：an?b1??n?1?d，bn?b1qn?1．
若存在d，使得an?bn?b1（n?2，3，L，m?1）成立， 即b1??n?1?d?b1qn?1?b1（n?2，3，L，m?1），
qn?1?2qn?1b1?d?b1． 即当n?2，3，L，m?1时，d满足
n?1n?11?qn?1?qm?2， 因为q?1,m2?，则?qn?1qn?1?2b1?0，b1?0，对n?2，3，L，m?1均成立． 从而
n?1n?1?因此，取d?0时，an?bn?b1对n?2，3，L，m?1均成立．
?qn?1?2??qn?1?下面讨论数列??的最大值和数列??的最小值
n?1n?1????（n?2，3，L，m?1）．
nn?1nqn?2qn?1?2nqn?qn?nqn?1?2n?q?q??q?2①当2?n?m时，， ???nn?1n?n?1?n?n?1?当1?q?2时，有qn?qm?2，从而n?qn?qn?1??qn?2?0．
1m?qn?1?2?因此，当2?n?m?1时，数列??单调递增，
n?1???qn?1?2?qm?2故数列?． ?的最大值为
m?n?1?②设f?x??2x?1?x?，当x?0时，f??x???ln2?1?xln2?2x?0， 所以f?x?单调递减，从而f?x??f?0??1．
qn1q?n?1??1??1?n?2n?1???f???1， 当2?n?m时，n?1?qn?n??n?n?1?qn?1?因此，当2?n?m?1时，数列??单调递减，
?n?1??qn?1?qm故数列?． ?的最小值为
m?n?1??b1?qm?2?bqm?因此，d的取值范围为?,1?．
mm????
4．（2018浙江）已知等比数列{}的公比q>1，且a345=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数
列{}满足b1=1，数列{（1?）}的前n项和为2n2． （Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{}的通项公式． 答案：（1）q?2；（2）bn?15?4n?3. n?22解答：（1）由题可得a3?a4?a5?28，2(a4?2)?a3?a5，联立两式可得a4?8.
11所以a3?a4?a5?8(?1?q)?28，可得q?2（另一根?1，舍去）.
q2（2）由题可得n?2时，(bn?1?bn)an?2n2?n?[2(n?1)2?(n?1)]?4n?1，
当n?1时，(b2?b1)a1?2?1?3也满足上式，所以(bn?1?bn)an?4n?1，n?N?, 而由（1）可得an?8?2n?4?2n?1，所以bn?1?bn?4n?14n?1?n?1， an2所以bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)?L?(bn?bn?1)?37114n?5???L?， 012n?22222错位相减得bn?b1?14?4n?3， 2n?2所以bn?15?
4n?3. n?225．（2018天津文）设{}是等差数列，其前n项和为（n∈N*）；{}是等比数列，公比大于0，其前n项和为（n∈N*）．已知b1=1，b32+2，b435，b54+2a6． （Ⅰ）求和；
（Ⅱ）若（T12+…）4，求正整数n的值．
【答案】（1）Sn?n?n?1?2，Tn?2n?1；（2）4．
【解析】（1）设等比数列?bn?的公比为q，由b1?1，b3?b2?2，可得q2?q?2?0． 因为q?0，可得q?2，故bn?2n?11?2n．所以，Tn??2n?1．
1?2设等差数列?an?的公差为d．由b4?a3?a5，可得a1?3d?4．由b5?a4?2a6， 可得3a1?13d?16，从而a1?1，d?1，故an?n，所以，Sn?（2）由（1），有T1?T2?L?Tn??21?23?L?2n??n=Sn??T1?T2?L?Tn??an?4bn可得
2?1?2n1?2n?n?1?2．
n?1???n?2?n?2，由
n?n?1?2?2n?1?n?2?n?2n?1，
整理得n2?3n?4?0，解得n??1（舍），或n?4．所以n的值为4．
6．（2018天津理）设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n?N?)，{bn}是等差数列. 已知a1?1，a3?a2?2，a4?b3?b5，a5?b4?2b6. （I）求{an}和{bn}的通项公式；
（）设数列{Sn}的前n项和为Tn(n?N?)， （i）求Tn；
(Tk?bk?2)bk2n?2??2(n?N?). （）证明?n?2k?1(k?1)(k?2)n【答案】（1）an?2n?1，bn?n；（2）①Tn?2n?1?n?2；②证明见解析． 【解析】（1）设等比数列?an?的公比为q．由a1?1，a3?a2?2， 可得q2?q?2?0因为q?0，可得q?2，故an?2n?1， 设等差数列?bn?的公差为d，由a4?b3?b5，可得b1?3d?4， 由a5?b4?2b6，可得3b1?13d?16，从而b1?1，d?1，故bn?n， 所以数列?an?的通项公式为an?2n?1，数列?bn?的通项公式为bn?n．
1?2n（2）①由（1），有Sn??2n?1，
1?2故Tn???2k?1???2k?n?k?1k?1k?1nn2?1?2n1?2???n?2n?1?n?2，
Tk?bk?2?bk?2?k?2?k?2?k?k?2k?12k?22k?1②因为， ?????k?1??k?2??k?1??k?2??k?1??k?2?k?2k?1?Tk?bk?2?bk?2322??2423??????????L所以?k?1k?2????32??43?k?1?n?2n?22n?1?2n?2????2． ??n?2n?1n?2??
7．（2018全国新课标Ⅰ文）已知数列?an?满足a1?1，nan?1?2?n?1?an，设bn?b2，b3； （1）求b1，an． n（2）判断数列?bn?是否为等比数列，并说明理由； （3）求?an?的通项公式． 答案：
（1）b1?1,b2?2,b3?4 （2）见解答 （3）an?n?2n?1
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