经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”
一.名称由来
在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口 就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！
二.模型建立
【模型一：定弦定角】
【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】
三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】
【模型二：动点到定点定长】
【模型三：直角所对的是直径】
【模型四：四点共圆】
四．“隐圆”破解策略
牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。
直角必有外接圆，对角互补也共圆。 五．“隐圆”题型知识储备
六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】
1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段 PB 长度的最小值为_ 。
简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为 AC 定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P 在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以 AC 为边向下作等边△AOC，以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P 在⊙O 上。当 B、P、O 三点共线时，BP 最短（知识储备一：点圆距离），
此时 BP=2 3 -2
2. 如图 1 所示，边长为 2 的等边△ABC 的原点 A 在 x 轴的正半轴上移动，∠BOD=30°， 顶点 A
在射线 OD 上移动，则顶点 C 到原点 O 的最大距离为 。
简答：因为∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O 三点共圆，圆心角为 60°，故以 AB 为边向 O 方向作等边△ABQ，∠AQB=60°为圆心角，Q 为圆心，以 QA 为半径作 ⊙ Q （ 如 图 2 ）， 由 知 识 储 备 二 可 知 当 OC ⊥ AB 时 ， OC 距 离 最 大 ，
OC=OQ+QH+HC=2+
3 + 3 =2+2 3 【思考：若∠BOD=45°呢（提示：需要构造倍角
模型）】 3. 如图 1，点 A 是直线 y=-x 上的一个动点，点 B 是 x 轴上的动点，若 AB=2，则△AOB 面积最大值为（ ） A. 2
B. 2 1
C. 2 1
D. 2 2
简答：因为 AB=2（定弦），∠AOB=135°（定角），因为∠AOB 是圆周角，故圆心角为 90°，以 AB 为斜边向上方作等腰直角△QAB，则 Q 为圆心（如图 2），由“知识储备二”可知，当 OQ ⊥ AB 时 ， 此 时 △ OAB 的 高 OH 最 大 ， 面 积 最 大 。 面 积 为 1 1
AB OH 2 ( 2 1) ?2 1 ，所以此题选择 B。 2 2
同学：老师，你说错答案了，选 C。 小段老师：没错啊，就选 B 啊。同学：你是老师，你说了算，你开心就好...
小段老师：题目有告诉你们 A、B 在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB=135°呢，难道不可能等于 45°吗如图 3，构建⊙Q，由“知识储备二”可知当 OQ⊥AB 时，此时△OAB 的
1 1
面积最大为 AB OH 2 ( 2 +1) ?2 +1 ，故答案选 B
2 2
3 ABCD 的对角线，∠ABC=60°4. 如图 1，AC 为边长为 2 的菱形，点 M、N 分别从点 B、 C 同时出发，以相同速度沿 BC、CA 向终点 C 和 A 运动，连接 AM 和 BN，求△APB 周长的最大值
简答：如图 2，由 M、N 点速度相同可知 BM=CN，易证△ABM≌△BCN，故∠NBC=∠BAM
（如图 2），又因为∠NBC+∠ABN=60°，所以∠BAM+∠ABN=∠APN=60°（外角性质），所以∠APB=120°（定角），又因为 AB 长度固定（定弦），故以 AB 为底向左侧构建等腰△ QAB，∠AQB=120°，则 P 在⊙Q 上，由“知识储备三”可知，当△ABP 是等腰三角形时，
△ABP 周长最短。又由△APB 是定角为 120°的等腰三角形，故 AP:BP:AB=1:1:
3 ，
AB=AC=2 3 ，故 PB=PA=2，故△ABP 的周长最大值为 4+2 3 【模型二：动点到定点定长】 1. 如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=
度。
1 简答：如图 2，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D 三点在以 A 为圆心的圆上，故∠CBD= ∠
2
CAD=38° 2. 如图，在△ABC 内有一点 D，使得 DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB= 。
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