高中数学2015新课标步步高2.3

又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

∴0<|x－1|<16，解之得－15

5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0.

(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论． 解 (1)∵f(1)＝0，且f(x)在[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0， 又∵f(2－x)＝f(2＋x)，令x＝－3，f(－1)＝f(5)≠0， ∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f(10＋x)＝f[2＋8＋x]＝f[2－(8＋x)] ＝f(－6－x)＝f[7－(13＋x)]＝f[7＋13＋x] ＝f(20＋x)， ∴f(x)以10为周期．

又f(x)的图象关于x＝7对称知，f(x)＝0在(0,10)上有两个根， 则f(x)＝0在(0,2 005]上有201×2＝402个根； 在[－2 005,0]上有200×2＝400个根； 因此f(x)＝0在闭区间上共有802个根．