九年级上册数学课本知识点归纳
第21章一元二次方程
一、学习目标
1、理解一元二次方程的概念 2、学会一元二次方程的解法 3、了解方程的根与系数的关系 4、掌握一元二次方程的实际应用 二、重点
一、一元二次方程 1、一元二次方程
含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
2ax?bx?c?0(a?0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；2、一元二次方程的一般形式
bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、降次----解一元二次方程
1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)
2、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适
2(x?a)?b的一元二次方程。x?a是b的平方根，用于解形如x=b或根据平方根的定义可知，当b?02
时，x?a??b，x??a?b，当b<0时，方程没有实数根。
222a?2ab?b?(a?b)3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知222x?2bx?b?(x?b)数x，并用x代替，则有。
配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。
4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。
2ax?bx?c?0(a?0)的求根公式： 一元二次方程
x??b?b2?4ac(b2?4ac?0)2a
1
2当b?4ac>0时，方程有两个实数根。 2当b?4ac=0时，方程有两个相等实数根。 2b当?4ac＜0时，方程没有实数根。
5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式
2ax?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程根的判别式：一元二次方程
ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac
四、一元二次方程根与系数的关系
2ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，由求根公式 如果方程
x??b?b2?4ac2bc(b?4ac?0)x1?x2??x1x2?2aa，a。 可算出
第22章 二次函数
一、学习目标
1、理解二次函数的概念 2、学会画二次函数的图象 3、掌握二次函数的性质 4、学会函数图象的平移
5、能够运用二次函数解决实际问题 二、重点
1、二次函数的解析式
①一般式：y?ax2?bx?c(a?0) (a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。 ②顶点式：y?a(x?h)2?k(a?0)
③交点式（与x轴）：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0) 2、抛物线的性质
①二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
②a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向
2
向下。a还可以决定开口大小,a越大开口就越小,a越小开口就越大。 ③抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x??b. 2a④对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
b4ac?b2,⑤抛物线有一个顶点P，坐标为P ( ?) 2a4a当x??b时，P在y轴上；当b2?4ac?0时，P在x轴上。 2a⑥二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。
⑦一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：
Ⅰ.当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是?b?0-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 2ab?0-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 2a Ⅱ.当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是?事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
⑧常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）
⑨二次函数的增减性
bb时，y随x的增大而减小；当x??时，2a2abby随x的增大而增大．若a<0，当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增
2a2ab大而减小．抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的最值：如果a>0(a<0)，则当x??时，y最小(大)
2a抛物线y?ax2?bx?c(a?0)，若a>0，当x??4ac?b2值=．
4a3、二次函数y?ax2，y?a(x?h)2?k(a?0)，y?ax2?bx?c(a?0) (各式中，a≠0)的图象
形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
3
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