2019-2020学年新教材高中数学 模块综合测评1 新人教B版第三册

模块综合测评(一)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列命题中的真命题是( )

A．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角

B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点 C．终边在第一象限的角是锐角 D．终边在第二象限的角是钝角

B [三角形的内角可以等于90°，而90°的角既不属于第一象限也不属于第二象限，A错；由正弦线、正切线的定义可知B正确；终边在第一象限的角，例如角390°是第一象限角，但不是锐角，C错；终边在第二象限的角，例如角460°是第二象限角，但不是钝角，D错误，故选B．]

2.已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是( ) A．1或－1 2C．1或－

5

22B．或－ 552D．－1或

5

3?4?2

B [当m>0时，2sin α＋cos α＝2×＋?－?＝；

5?5?52?3?4

当m<0时，2sin α＋cos α＝2×?－?＋＝－.]

5?5?5

3.已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|的值为( )

1

A． 2C．2

B．1 D．3

→→→

B [如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝OA，b＝OB，则|a－b|＝|BA|且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因|a|＝|b|＝1，则△AOB为正三角形，从而→

|BA|＝|a－b|＝1.]

?π??π?4．函数y＝3sin?－3x?＋3cos ?－3x?的最小正周期为( ) ?4??4?

2π

A．

3C．8 [答案] A

π??5．如图所示为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?ω＞0，φ≤?的部分图像，点M、N分别2??为图像的最高点和最低点，点P为该图像一个对称中心，点A(0,1)与点B关于点P对称，→29

且向量NB在x轴上的投影恰为1，AP＝，则f(x)的解析式为( )

2

π

B．

3D．4

23?ππ?A．f(x)＝sin?x＋?

3?3?6

?ππ?B．f(x)＝2sin?x＋?

6??3?ππ?C．f(x)＝2sin?x＋? 6??6

D．f(x)＝2sin?

?2πx＋π? ?6??3

→→

B [由NB在x轴上的投影为1，可得AM在x轴上的投影也为1，即点M的横坐标为1， 由OA＋OP＝1＋OP＝

2

2

2

295，可得|OP|＝， 22

π

ω＋φ＝＋2kπ??25??故P?，0?，由五点法得??2?5ω??2＋φ＝π＋2kππ

又∵|φ|≤，

2

π?ππ?∴φ＝，即f(x)＝Asin?x＋?，

6?6?3πA又f(0)＝Asin＝＝1，∴A＝2，

62

ππ

，解得ω＝，φ＝＋2kπ，k∈Z，

36

?ππ?故f(x)＝2sin?x＋?.故选B．

6??3

6．设集合A＝{?x，y?|y＝2sin 2x}，集合B＝{(x，y)|y＝x}，则( ) A．A∩B中有3个元素 C．A∩B中有2个元素

B．A∩B中有1个元素 D．A∪B＝R

A [观察函数y＝2sin 2x与函数y＝x的图像可得．]

7．已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sinx，x∈R，则f(x)是( ) A．最小正周期为π的奇函数 π

B．最小正周期为 的奇函数

2C．最小正周期为π的偶函数 π

D．最小正周期为 的偶函数

2D [f(x)＝(1＋cos 2x)4x，

2ππ

∴T＝＝，f(－x)＝f(x)，故选D．]

42

1－cos 2x1111＋cos 4x112

＝(1－cos2x)＝－×＝－cos 2222244

2

8．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是

122

，则sinθ－cos θ的值等于( ) 25

A．1 7C． 25

24

B．－

257D．－ 25

D [依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cos θ，短直角边为sin θ，11

小正方形的边长为cos θ－sin θ，因小正方形的面积是，即(cos θ－sin θ)2＝，

252543722

得cos θ＝，sin θ＝.即sinθ－cosθ＝－.] 5525

9．已知|p|＝22，|q|＝3，p，q的夹角为→

为BC的中点，则|AD|为( )

→→π

，如图，若AB＝5p＋2q，AC＝p－3q，D4

15

A．

2C．7

B．

15

2

D．18

→212|AD|＝?6p－q?

2

→1→→1→

A [∵AD＝(AC＋AB)＝(6p－q)，∴|AD|＝

22＝

122

36p－12p·q＋q 2

1＝ 2π1522

36×?22?－12×22×3×cos ＋3＝.]

42

ππ558πb10．已知非零实数a，b满足关系式＝tan，则的值是( )

ππ15aacos －bsin

55

asin＋bcos

A．

3

3

B．－

3 3

C．3 D．－3

πππtan＋tantan＋3

535?ππ?C [＝tan?＋?＝＝，令a＝t，则b＝3t，

ππππ?53?

a－btan1－tantan1－3tan

5355

atan＋bπ5

所以＝3.]

11.设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：abab＝(a1，a2)(b1，b2)＝(a1b1，

?1??π????a2b2)．已知m＝?2，2?，n＝?3 ，0?点P(x，y)在y＝sin x的图像上运动，点Q在y＝f(x)?，

→

的图像上运动．且满足OQ＝m→

OP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小

正周期T分别为( )

A．2，π 1

C． ,4π 2

→

C [设Q(x，y)，P(x0，y0)，OQ＝mB．2,4π 1

D． ，π 2

OP＋n，(x，y)＝?2，?2

→

?

?

1?

?

?π?(x0，y0)＋?，0?＝?3?

?2x0＋π，1y0?，则x＝2x＋π，y＝1y，所以x＝1x－π，y＝2y，所以y＝f(x)＝1

?0000

32?32262??

1?1π?sin?x－?.所以最大值A＝，最小正周期T＝4π.] 6?2?2

12.已知函数f(x)＝2sinωxsin?

2

?ωx＋π?－sin2ωx(ω＞0)在区间?－π，3π?上是增

?44?4??2???

?12?B．?，?

?33??12?D．?，? ?23?

函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )

?12?A．?，? ?23??12?C．?，? ?33?

D [∵f(x)＝2sinωx·sin?

2

?ωx＋π?－sin2ωx

4??2?

π??1－cos?ωx＋?2??22

＝2sinωx·－sinωx＝sinωx(1＋sinωx)－sinωx＝sinωx，

2即f(x)＝sinωx，∴?－

?π，π?是函数含原点的递增区间．

??2ω2ω?

?π3π?又∵函数在?－，?上递增，

4??4?ππ??π3π?∴?－，???－，?，

4??2ω2ω??4

ππ3ππ

∴得不等式组：－≤－，≤.

2ω442ω2

又∵ω＞0，∴0＜ω≤. 3

又函数在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx＝2kπ＋π

，k∈Z， 2

2kπππ

即函数在x＝＋处取得最大值，可得0≤≤π，

ω2ω2ω1?12?∴ω≥，综上，可得ω∈?，?.故选D．]

2?23?

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

?1?13.已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝?，1＋sin θ?(θ为锐角)，且a∥b，则tan θ?2?

＝________.

1

1 [∵a∥b，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0.

212

∴cos θ＝，

2

∵θ为锐角，∴cos θ＝

2π

，∴θ＝，∴tan θ＝1.] 24

→→

14．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB在CD上的投影为________． →210→

[AB＝(2,2)，CD＝(－1,3)． 5

→→

→→→→→AB·CD2×?－1?＋2×34210∴AB在CD上的投影|AB|cos 〈AB，CD〉＝＝＝＝.] 22→5?－1?＋310|CD|ππ

15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图像上的两个相邻的最高

221??点和最低点的距离为22 ，且过点?2，－ ?，则函数f(x)＝________.

2??

?πxπ?sin?＋? [据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得

6??2?T?＋?1＋1?2＝

?2???

2

2ππ?πx＋φ?，又函数图像过点?2，－1?，故

22，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin???2?T2?2???

f(x)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－

sin?

1

2πππ

≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝226

?πx＋π?.]

6??2?

4θ?π?16．若θ∈?0， ?，且sin θ＝ ，则tan ＝________.

2?52?1θθ [∵sin θ＝2sin cos ＝222

2sincos 22sin

2

θθ2

θ2

＋cos

θ2

＝

4

＝. 52θ1＋tan2

2tan

θ2

∴2tan

2

θθθ1θ－5tan ＋2＝0，∴tan ＝或tan ＝2. 22222

θ?π?θ?π?∵θ∈?0，?，∴∈?0，?.∴tan ∈[0,1]，

2?4?2?2?θ1

∴tan ＝]

22

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

3??17．(本小题满分10分)已知向量a＝?sin x， ?，b＝(cos x，－1)． 2??(1)当a∥b时，求2cos x－sin 2x的值；

2

?π?(2)求f(x)＝(a＋b)·b在?－ ，0?上的最大值．

?2?

3

[解](1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，

23

∴tan x＝－，

2

2cosx－2sin xcos x2－2tan x20

2cosx－sin 2x＝＝＝. 222sinx＋cosx1＋tanx13

2

2

(2)f(x)＝(a＋b)·b＝

π?2?

sin?2x＋?.

4?2?

π3πππ

∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，

2444∴－∴－π?22?≤sin?2x＋?≤，

4?22?21

≤f(x)≤， 22

1∴f(x)max＝. 2

18．(本小题满分12分)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b. [解](1)因为a与b－2c垂直，

所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin

β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，

因此tan(α＋β)＝2.

(2)由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b＋c|＝?sin β＋cos β?＋?4cos β－4sin β? ＝17－15sin 2β≤42. π

又当β＝－时，等号成立，

4所以|b＋c|的最大值为42.

4cos αsin α(3)证明：由tan αtan β＝16得＝，

sin β4cos β所以a∥b.

19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其

2

2

?π?中θ∈?0， ?.

2??

(1)求sin θ和cos θ的值；

π

(2)若5cos(θ－φ)＝35 cos φ，0<φ< ，求cos φ的值．

2[解](1)∵a·b＝0，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ.又∵sinθ＋cosθ＝1， 142222

∴4cosθ＋cosθ＝1，即cosθ＝，∴sinθ＝. 55255?π?又θ∈?0，?，∴sin θ＝，cos θ＝.

2?55?

(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，

∴cos φ＝sin φ.

12222

∴cosφ＝sinφ＝1－cosφ，即cosφ＝.

2π2

又∵0<φ<，∴cos φ＝.

22

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

1

(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y2

2

2

2

?π?＝g(x)的图像，求函数g(x)在区间?0， ?上的最小值． ?16?

[解](1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cosωx. 所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋π?1?sin?2ωx＋?＋. 4?2?

2π

由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.

2ω(2)由(1)知f(x)＝

π?12?

sin?2x＋?＋，

4?22?π?12?

sin?4x＋?＋.

4?22?

1＋cos 2ωx1112

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝

22222

2

所以g(x)＝f(2x)＝

ππππ

当0≤x≤时，≤4x＋≤，

16442所以π?2?≤sin?4x＋?≤1.

4?2?

1＋2

因此1≤g(x)≤.

2

?π?故g(x)在区间?0，?上的最小值为1. ?16?

4cosx－2cos 2x－1

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ .

π?π???sin?＋x?sin?－x??4??4?

4

?11?(1)求f?－ π?的值；

?12?

1?π?(2)当x∈?0， ?时，求g(x)＝ f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．

4?2?

?1＋cos 2x?－2cos 2x－1cos2x2cos2x[解](1)f(x)＝＝＝ π??π?π?π?π?????sin?＋x?sin?－x?sin?＋x?cos ?＋x?sin?＋2x??4??4??4??4??2?2cos2x＝＝2cos 2x， cos 2x2

2

2

2

?11π?＝2cos?－11π?＝2cos π＝3. ∴f?－??6?6?12???

π??(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin?2x＋?.

4

??

π?π3π??π?∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?.

4?4?4?4?

π

∴当x＝时，g(x)max＝2，当x＝0时，g(x)min＝1.

8

22.(本小题满分12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a25－b|＝ . 5

(1)求cos(α－β)的值；

ππ5

(2)若0<α< ，－<β<0，且sin β＝－ ，求sin α.

2213[解](1)∵|a|＝1，|b|＝1，

|a－b|＝|a|－2a·b＋|b|＝|a|＋|b|－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋12

2

2

2

2

－2cos(α－β)，

－b|2

＝??25?2|a4

?5??＝5

，

∴2－2cos(α－β)＝43

5得cos(α－β)＝5.

(2)∵－π2<β<0<α<π

2，∴0<α－β<π.

由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝4

5，

由sin β＝－512

13得cos β＝13

.

∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos ×??5?－13??33?＝65

.

＋cos(α－β)sin β＝4123

5×13＋5

β