初中数学专题复习(1) 分类讨论问题
【简要分析】
在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中,有不少是分类给出的,遇到涉及这些知识的问题,就可能需要分类讨论。另外,有些数学问题在解答中,可能条件或结论不唯一确定,有几种可能性,也需要从问题的实际出发进行分类讨论。把被研究的对象分成若干种情况,然后对各种情况逐一进行讨论,最终得以解决整个问题,这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。它体现了化整为零与积零为整的思想,是近年来中考重点考查的思想方法。分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性,将其区分为不同的种类的思想方法,其作用是克服思维的片面性,防止漏解.要注意,在分类时,必须按同一标准分类,做到不重不漏. 【典型考题例析】
例1:已知一次函数y??3x?33与x轴、y轴的交点分别为A、B,试在x轴上3找一点P,使△PAB为等腰三角形。
分析:本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定,而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能?我们可以按腰的可能情况加以分类:(1)PA=PB;(2)PA=AB;(3)PB=AB。先可以求出B点坐标(0,33),A点坐标(9,0)。设P点坐标为(x,0),利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程,求出P点坐标有四解,分别为(?9,0)、(3,0)、(9?63,0)、(9?63,0)。(不适合条件的解已舍去)
点拨:解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置,紧扣条件,分类画出各种符合条件的图形。另外,由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置,从而需对不同位置分别求其结果,否则漏解。
。
例2:正方形ABCD的边长为10cm,一动点P从点A出发,以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到A点停止,求点P运动t秒时,P,D两点间的距离。
解:点P从A点出发,分别走到B,C,D,A所用时间是
秒,即5秒,10秒,15秒,20秒。
∴(1)当0≤t<5时,点P在线段AB上,|PD|=|P1D|= (2)当5≤t<10时,点P在线段BC上,|PD|=|P2D|=
(3)当10≤t<15时,点P在线段CD上,|PD|=|P3D|=30-2t (4)当15≤t≤20时,点P在线段DA上,|PD|=|P4D|=2t-30
综上得:
(cm)
秒,
秒,
秒,
|PD|=
说明:本题从运动的观点,考查了动点P与定点D之间的距离,应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形,将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。 例3:如图2-4-2,正方形ABCD的边长是2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端在CD、AD上滑动.当DM= 时,△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似.
分析与解答 勾股定理可得AE=5.
当△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时,DM可以与BE是对应边,也可以与AB是对应边,所以本题分两种情况:
DM15DMMN?,DM?(1)当DM与BE是对应边时,,即. ?15ABAE5(2)当DM与AB是对应边时,
ANDMBE图2-4-2CDM125DMMN?,DM?,即 ?25ABAE5 故DM的长是
525或. 55例4:如图2-4-3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P、Q分别从D、C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动时间为t秒.
(1) 设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
(2) 当t为何值时,以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形?
(2005年湖北省中考改编)
0
APDBMQC
分析与解答 (1)如图2-4-3,过点P作PM⊥BC,垂足为M, 则四边形PDCM为矩形,∴PM=DC=12.
1∵QB=16-t,∴S??12?(16?t)?96?6t.
2(3) 由图可知,CM=PD=2t,CQ=t,
若以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形,可分为三种情况: ① 由图可知,PQ=BQ.
在Rt△PMQ中,PQ2?t2?122.由PQ2?BQ2,得t2?122?(16?t)2,解得t?② 若PQ=BQ.在Rt△PMB中,
BP2?(16?t)2?122.由BP2?BQ2,得(16-2t)2?122?(16?t)2,即3t2?32t?144?0,
7. 2∵△=?704?0,
∴解得3t2?32t?144?0无解,∴BP?BQ.
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由BP2?QP2,得t2?122?(16?2t)2?122.③若PB=PQ.在Rt△PMB中,,解得t1?16,t2?163不合题意,舍去).
综合上面原讨论可知:当t?等腰三角形.
说明 从以上各例可以看出,分灯思想在几何中的较为广泛.这类试题的解题思路是:对具有位置关系的几何图形,要有分类讨论的意识,在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下,正确应用分类思想方法,恰当地选择分类标准,是准确全面求解的根本保证.
【提高训练】
1.已知等腰△ABC的周长为18㎝,BC=8㎝.若△ABC≌△A′B′C′,则△A′B′C′中一定有一定有条边等于( )
A.7㎝ B.2㎝或7㎝ C.5㎝ D.2㎝或7㎝
(2005年内蒙古自治区呼和浩特市中考题目) 2.A、B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120千米/时,乙车速度为80千米/时,以过t小时两车相距50千米,则t的值是( )
A.2或2.5 B.2或10 C.10或12.5 D.2或12.5
3.已知⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P这圆心,且与⊙O相切的圆的半径一定是( )
A.1或5 B.1 C.5 D.1或则
(2005年黑龙江省哈尔滨市中考题目)
4.已知点P是半径为2的⊙O外一点,PA是⊙O的切线,切点为A,且PA=2,在⊙O内作了长为22的弦AB,连续PB,则PB的长为
(2005年湖北省黄冈市中考题)
5.在直角坐标系xoy中,一次函数y?3x?2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点3716
秒或t?秒时,以B、P、Q三点为项点的三角形是23
B.(1)苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C,求切点C的坐标.(2)在x轴上是否存在点P,使△PAB为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
6. 已知一次函数y??3x?33与x轴、y轴的交点分别为A、B,试在x轴上找3一点P,使△PAB为等腰三角形。
【参考答案】
1.D 2.A 3.A 4.2或25 5.(1)(?33,) 2223,0)或(4?23,0)或(?4?23,0) 3(2)满足条件的点P存在,它的坐标是(23,0)或(?6 P点坐标有四解,分别为(?9,0)、(3,0)、(9?63,0)、(9?63,0)。
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