初中数学专题复习（1） 分类讨论问题
【简要分析】
在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。它体现了化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏． 【典型考题例析】
例1：已知一次函数y??3x?33与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上3找一点P，使△PAB为等腰三角形。
分析：本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标(0，33)，A点坐标（9，0）。设P点坐标为(x，0)，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为(?9，0)、(3，0)、(9?63，0)、(9?63，0)。（不适合条件的解已舍去）
点拨：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
。
例2：正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时，P，D两点间的距离。
解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是
秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。
∴（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|= （2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t （4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30
综上得：
(cm)
秒，
秒，
秒，
|PD|=
说明：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。 例3：如图2-4-2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似．
分析与解答 勾股定理可得AE=5．
当△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
DM15DMMN?,DM?（1）当DM与BE是对应边时，，即． ?15ABAE5（2）当DM与AB是对应边时，
ANDMBE图2-4-2CDM125DMMN?,DM?，即 ?25ABAE5 故DM的长是
525或． 55例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1） 设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（2） 当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？
（2005年湖北省中考改编）
0
APDBMQC
分析与解答 （1）如图2-4-3，过点P作PM⊥BC，垂足为M， 则四边形PDCM为矩形，∴PM=DC=12．
1∵QB=16-t，∴S??12?(16?t)?96?6t．
2（3） 由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： ① 由图可知，PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ2?t2?122.由PQ2?BQ2,得t2?122?(16?t)2，解得t?② 若PQ=BQ．在Rt△PMB中，
BP2?(16?t)2?122.由BP2?BQ2,得(16-2t)2?122?(16?t)2，即3t2?32t?144?0，
7． 2∵△=?704?0，
∴解得3t2?32t?144?0无解，∴BP?BQ．
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由BP2?QP2,得t2?122?(16?2t)2?122．③若PB=PQ．在Rt△PMB中，，解得t1?16,t2?163不合题意，舍去）．
综合上面原讨论可知：当t?等腰三角形．
说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．
【提高训练】
1．已知等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一定有条边等于（ ）
A．7㎝ B．2㎝或7㎝ C．5㎝ D．2㎝或7㎝
（2005年内蒙古自治区呼和浩特市中考题目） 2．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，则t的值是（ ）
A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5
3．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是（ ）
A．1或5 B．1 C．5 D．1或则
（2005年黑龙江省哈尔滨市中考题目）
４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作了长为22的弦AB，连续PB，则PB的长为
（2005年湖北省黄冈市中考题）
5．在直角坐标系xoy中，一次函数y?3x?2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点3716
秒或t?秒时，以B、P、Q三点为项点的三角形是23
B．（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6. 已知一次函数y??3x?33与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找3一点P，使△PAB为等腰三角形。
【参考答案】
1．D 2．A 3．A 4．2或25 5.（1）(?33,) 2223,0)或(4?23,0)或(?4?23,0) 3（2）满足条件的点P存在，它的坐标是(23,0)或(?6 P点坐标有四解，分别为(?9，0)、(3，0)、(9?63，0)、(9?63，0)。
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