的内角和求外角等内容，我国是在安排在初中学习的。对平面和立体图形的有关内容的考试，本试卷是与其他领域内容整合在一起，体现出一定的难度。我们从具体试题中也可以看出新加坡小学数学试卷的广度，以及对试题难度的把握。比如求第10题，需要知道三角型的外角是其不相邻的两个内角之和，而且，还需要减去已知的70度，才能求出X的值，这对未学过代数初步知识的新加坡学生来说还是有一定难度的；可见新加坡在测量和几何这个领域中，内容选择比我们更经典，更难，选择的领域也是有差异的。
（3）新加坡统计的知识领域的广度不及我国，但在培养学生分析统计图表的能力，以及如何结合生活灵活应用方面有自己的特色。随着信息时代对我们数据搜集、整理、分析能力要求的提高，本试卷在内容选择上仍从学生的生活经验出发，避免了学生的认知困难，解决的也是学生自己或家庭经常遇到的问题，让学生“为考试学”的基础上，达到“在考试中学”的目的。同时，试题在问题的设计上很巧妙，如停车场的问题，很多学生因为生活经验的缺乏而解答为2+2.5、2+0.9+2=4.9、0.9*3=2.7等，或受思维定势的影响而解答为2.5，可见新加坡的这些试题对学生积累生活经验，养成良好的学习习惯和全面细致分析问题的思维习惯有很好的启示作用。
结论：
新加坡的数学知识范围广，传统内容保留较多，特别是在1997年新加坡教育部 “思考的学校，学习的国家”（Thinking Schools, Learning Nation）的教育总目标提出后，数学教育开始了“删减课程内容，注重思考”的改革之路，至2005年的新课程改革（2006年颁布教学大纲，2007年小学正式开始实施），进一步凸现问题的思考过程而非解题技巧，同时，重视学生的自我监控和自我调节等，使“小学数学课程进一步变‘宽’了”。本研究通过有代表性的一些试题对新加坡的小学数学纸笔评价进行解读，从中已能体悟其“体现广度，把握难度，突出数学思考过程”的考试评价特点，对我国新课程改革中考试评价改革的稳步推进，有一定的借鉴意义。
3、从小学数学解题策略的比较中发现
新加坡自1965年独立以来，在经历了生存驱动教育、效率驱动教育后，进入到能力驱动教育阶段，即社会的发展要求人们具备更高的实践能力和创新能力——解决问题的能力。为此，1990年，“在整个世界都重视过程的潮流中”，新加坡进行了课程改革，构建了新的数学课程框架（五角形图），其主要特征是强调解决问题在数学学习中的重要性，把解决问题放在数学学习的核心。为了达到这个目标，教育部采取了两项措施：一是重视解决问题的方法，二是对老师进行解决问题能力的培训，这里的解决问题方法除了我们熟知的“具体—图像—抽象”
教学法，还有建构数学模型法。我们分析与研究了新加坡小学数学 “模型方法（The Model Method）” 在小学数学解决问题中的作用。
所谓数学模型方法是通过建立和研究客观对象的数学模型来揭示对象的本质特征和变化规律的一种基本数学方法，小学数学模型方法是指通过作形象化的图形来展示事物各部分之间的关系，以此帮助学生理解问题、提高解决数学问题能力的一种方法。根据皮亚杰的理论，小学生还处于认知发展的具体运算阶段，此时的特点是思维的内容和形式不可分，即形象思维发达、抽象的逻辑思维能力还未成熟。小学生思维的这种特点与数学知识的抽象性之间无疑形成了矛盾，也正是由于这一矛盾的存在，使得新加坡的小学数学教学非常重视数学模型方法的教学。数学模型方法的具体、形象性特点不仅使这一矛盾迎刃而解，而且在提高小学生的问题解决能力方面也发挥了重要作用。
与我国不重视线段图的做法不同，新加坡在经过1990年的课程改革后，其教学法中的数学模型法成为新加坡数学教育的一大特色。新加坡把数学模型方法作为重要的解题策略，不仅教材中有许多范例，作业中也要求学生用图形展示其思考过程，并把数学模型方法作为新加坡的数学教学特色和重要的学习策略积极向外推介。
我们把新加坡与我国的小学进行了解题能力的测试比较，现介绍如下。 例：在一个俱乐部里，女孩比男孩多12人，女孩的1/3与男孩的1/4在运动场比赛，比赛的人中，女孩比男孩多6人，用分数表示没有参加比赛的男孩占俱乐部总人数的几分之几？
有关分数的应用题在小学中本来就是难点，再加上题目中是男孩的1/4与女孩的1/3（单位“1”不同）进行比较又加大了问题的难度。从测试的情况来看，我国学生的解题正确率不足10%，在与学生的访谈中，大部分学生反映题目条件大多无从下手，当教师给学生画出如下图示时，学生解答此题正确率明显提高。
女孩
1个单位 1个单位 1个单位 6 6 6 男孩 1个单位 1个单位 1个单位 1个单位 比女孩少12 解答：
3个单位+3×6-12=4个单位 1个单位： 3×6－12=6 总人数7×6+18=60 3个单位=3×6=18 18：60=3/10
诸如此类的问题对一个小学生来说确实很难，但在新加坡，这样的题目非常普遍，学生利用模型方法和归一的思想基本都能解决问题。显然，把数学模型方
法作为一种解题策略，打通了形象思维与抽象思维之间的“数学通道”，“能把本来只有少部分人会做的数学，变成大部分学生都能完成的‘问题解决’”。虽然我国也有线段图，但是在解题时绝大部分学生却想不到用它来解题，即使想到了，又由于平时很少使用而盲目套用，没有上升到“策略”的高度，不利于问题的解决和思维能力的培养。
结论：
我国新课程虽然注重学生解决问题能力的培养，小学数学教材在例题的选择和呈现方式上都力求从学生的生活经验和认知水平出发，但原来的“线段图”已基本淘汰。注重让学生在大量实例的基础上建立起数学模型，重视的是数学模型的建立过程，而不是把它作为解决数学问题的重要方法和策略，数学建模的思想果然重要，把数学模型方法作为解决问题的策略也有其特定的作用。在我们了解新加坡小学数学模型方法的广泛应用与理论基础后，能对我国正在进行的“深化教学改革”有所借鉴。
4、从中、新（加坡）两国特级教师访谈及其课堂教学的比较中发现 中国大陆和新加坡两地数学特级教师作为教学实践上的行家能手，他们对所教数学学科、对有效数学教学的认识，是否存在差异？在有效教学的具体经验方面，有没有可资相互借鉴和学习的地方？本研究通过访谈中国大陆、新加坡的两位小学数学特级教师，进行个案对比研究，发现共性多于差异，认为共性可能来自于数学及数学教育本身的特点，而差异则来自两国文化、教学理念，以及个人的教学经验。
（1）对数学学科的认识以及对学生学习数学目的性的认识基本一致
我们选定的两位特级教师走入教学岗位之前的初始学历都相当于中等师
范学校毕业，因此从专业教育背景分析，他们可能直接接触高等数学的机会相对较少，但访谈中他们还是用朴素的语言说明了数学是经验科学与演绎科学的辩证统一。两位特级教师都认为数学是一门揭示关系、形成方法、开发思维、并与人们的日常生活有密切联系的一门学科。关于对学生学习数学的目的性认识，两位老师的认识也基本一致。两位特级教师的这些共同认识，反映了数学教学之共性，就如吴晓红、郑毓信所指出的，―更一般地，这种共性很大程度上是由数学学科本身的特点决定的‖。
（2）对有效教学的认识一致，教学理念有差异
谈到对有效教学的认识，的两位特级教师都一致认为：―有效教学意味着有
效学习‖。最近几年来，教育的有效性是很多教育研究者和教师十分关注的一个问题，尤其在中国大陆作为一个热点话题有不少讨论。就如有学者所指出的，在教学上，―所谓?有效‘，主要是指通过教师在一段时间的教学后，学生所获得的
具体进步或发展‖。而―有效教学‖，归根结底离不开有效地促进学生的全面发展，而学生的全面发展又是以有效地改善学生的学习方式和提升教师的专业水准为前提的（钟启泉， 2007）。可见，优秀教师的一个共同的特征是关注学生，但进一步分析，两者关注的角度是有差异的。新加坡的S老师是从与学生交朋友、向学生学习的角度来关注学生、分享知识， 而大陆的C老师是从如何合理组织教学活动，让学生主动探索，以提高学生的学习效率来关注学生。S老师重在考虑学生如何学，而C老师重在关注如何教才能促进学生的学。―以学促学‖，或是―以教促学‖，反映出他们教学理念上的差异。 （3）对有效教学的具体经验中有文化上的差异
为了进一步了解不同文化、不同的教学理念对教学设计可能产生的影响，
我们请两位特级教师对同一内容―三角形的内角和‖，分别根据自己的教学经验谈了他们的不同教学设计。
结果发现这两位特级教师都十分注重让学生在实践中发现数学问题（都从量角开始感知），并注意引导学生自己去验证，都注意到了数学的应用。尽管从严格意义上说，两位老师所用的验证都不是数学中的演绎与证明，但他们都力求体现数学是经验性和演绎性的辩证统一的思想。如S老师通过向学生说明―数学家‖已经证明（事实上，他们到了中学就能证明），来强调数学是需要证明的。而C老师借助把三角形的内角和推广到四边形、五边形、直至多边形让学生体会数学的知识体系。
同时，两位特级教师都十分关注学生的知识基础，但S老师以其丰富的教学经验，注意关注学生可能有的想法和错误，如让每个学生任意画三个不同的三角形，避免学生产生―这只是一个特例‖或―只有老师画的三角形的内角和才是180度‖的误解，又如在剪、拼前让学生给三个角涂上颜色，不仅能在展示中因色彩鲜艳而吸引学生的注意力，更可防止学生因找不到原来的三个角，而失去验证的意义，而这也正是普通老师不太容易关注到的。
C老师则十分重视针对不同学生设计不同的教学起点，关注教学设计的有效性与课堂结构的完整性和规范性。
为了解释和验证新加坡与中国大陆在课堂结构上的差异，我们分别看了两位老师的课堂录像（S老师的是―探究怎样的六个面能围成正方体和长方体‖，C的是 ―圆柱体的认识‖），并到新加坡有关小学共听了8位不同老师所教的42节数学课，访问了在新加坡国立教育学院任教的两位小学数学学科教学法专家。对
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