∵A′E⊥AC，
∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F， ∴∠M=∠MA′F=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠F=∠ACB=90°， ∴四边形MA′FN是矩形， ∴MN=A′F，FN=A′M， 由翻折得：A′D=AD=5，
Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4， ∴FN=A′M=4， Rt△BDN中，∵BD=5， ∴DN=4，BN=3，
∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7， BF=BN+FN=3+4=7，
Rt△ABF中，由勾股定理得：A′B= 综上所述，A′B的长为 故答案为：
或7
或7 ．
．
=7
；
【分析】分两种情况：
①如图1，作辅助线，构建矩形，先由勾股定理求斜边AB=10，由中点的定义求出AD和BD的长，证明四边形HFGB是矩形，根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长，并由翻折的性质得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，由矩形性质和勾股定理可以得出结论：A′B=
；②如图2，作辅助线，构建矩形A′MNF，同理可以求出A′B的长．
三、解答题（共2题；共20分）
22.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB． （1）求线段CD的长；
（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；
第 21 页
（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【答案】（1）解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，
易得四边形BCDH为矩形， ∴DH=BC=12，CD=BH， 在Rt△ADH中，AH= ∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7， ∴CD=7；
（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE， ∵∠AGE=∠DAB， ∴∠GAE=∠DAB，
∴G点与D点重合，即ED=EA， 作EM⊥AD于M，如图1，则AM= ∵∠MAE=∠HAD， ∴Rt△AME∽Rt△AHD， ∴AE：AD=AM：AH，即AE：15= 当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG， ∵∠AGE=∠DAB，
而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG， ∴∠GAE=∠ADG， ∴∠AEG=∠ADG， ∴AE=AD=15，
综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为 （3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，
或15；
：9，解得AE=
；
AD=
， ，
第 22 页
在Rt△ADE中，DE=
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA， ∴△EAG∽△EDA，
∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x： ∴EG= ∴DG=DE﹣EG= ∵DF∥AE， ∴△DGF∽△EGA，
∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（ ∴y=
（9＜x＜
，
﹣
= ，
，
，
﹣ ）： ，
）．
【解析】【分析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长； （2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=
AD=
，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此
时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=
，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=
，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．
23.校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：
=1.41，
=1.73）
第 23 页
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠CDB=75°，
∴∠CBD=15°，∠EBD=15°， 在Rt△CBD和Rt△EBD中， ∵
∴△CBD≌△EBD， ∴CD=DE，
在Rt△ADE中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，AD=40米， 则AE= ∴DE=
AD=20米，
=20
米，
）米，
，
∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20 在Rt△ABC中，∵∠A=60°， ∴∠ABC=30°， ∴AB=2AC=80+40 ∴BC= 则速度=
， =（40 =4
+60）米，
+6≈12.92米/秒，
∵12.92米/秒=46.512千米/小时， ∴该车没有超速．
【解析】【分析】根据题意由AAS得到△CBD≌△EBD，得到对应边CD=DE，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE的值，再根据勾股定理求出DE的值，得到AC=AD+CD=AD+DE的值，求出该车速度，得到该车没有超速．
四、作图题（共1题；共5分）
24.如图，在15×15的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，图①中的三角形是以格点为顶点，边长都为整数的锐角三角形．
在图②③④中分别画出一个以格点为顶点，边长都为整数的锐角三角形，并在每条边上标出其长度（图①﹣④
第 24 页
相关推荐：
loading