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2019年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷3文科数学·参考答案
一、选择题 1．A 2．D 二、填空题 13．?3．D
4．C
5．B
6．C
7．D
8．B
9．C
10．B
11．A
12．C
2
1014．100
15．(3,15)
16．118.8
三、解答题
17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00． 18．解：（1）由题设及正弦定理得sinAsin因为sinA?0，所以sinA?C?sinBsinA． 2A?C?sinB． 2A?CBBBB??cos，故cos?2sincos． 由A?B?C?180，可得sin22222BB1因为cos?0，故sin?，因此B=60°．
2223a． （2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC?4?csinAsin?120?C?31由正弦定理得a????．
sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0° 822?33?因此，△ABC面积的取值范围是??8,2??． ??19．解：（1）由已知得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四 点共面． 由已知得AB?BE，AB?BC，故AB?平面BCGE． 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC?平面BCGE． （2）取CG的中点M，连结EM，DM. 因为AB//DE，AB?平面BCGE，所以DE?平面BCGE，故DE?CG. 由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM?CG，故CG?平面DEM. 因此DM?CG. . . 在Rt△DEM中，DE=1，EM=3，故DM=2. 所以四边形ACGD的面积为4. 20. 解：（1）f?(x)?6x?2ax?2x(3x?a)． 令f?(x)?0，得x=0或x?2 a. 3?a??a?若a>0，则当x?(??,0)U?,???时，f?(x)?0；当x??0,?时，f?(x)?0．故f(x)在 ?3??3??a??a? (??,0),?,???单调递增，在?0,?单调递减； ?3??3? 若a=0，f(x)在(??,??)单调递增； a???a?若a<0，则当x????,?U(0,??)时，f?(x)?0；当x??,0?时，f?(x)?0．故f(x)在 3???3?a???a???,,(0,??)单调递增，在???,0?单调递减. 3???3??a??a? （2）当0?a?3时，由（1）知，f(x)在?0,?单调递减，在?,1?单调递增，所以f(x)在[0,1] ?3??3?a3?a??2，最大值为f(0)=2或f(1)=4?a.于是 的最小值为f????27?3??4?a,0?a?2,a3m???2，M?? 272,2?a?3.??a32?a?,0?a?2,??27所以M?m?? 3?a,2?a?3.??27a3?8?,2?. 当0?a?2时，可知2?a?单调递减，所以M?m的取值范围是?2727??a38当2?a?3时，单调递减，所以M?m的取值范围是[,1). 27278综上，M?m的取值范围是[,2). 271??221．解：（1）设D?t,??,A?x1,y1?，则x1?2y1. 2??1y1?2?x . 由于y'?x，所以切线DA的斜率为x1，故1x1?t整理得2 tx1?2 y1+1=0. . . 设B?x2,y2?，同理可得2tx2?2 y2+1=0. 故直线AB的方程为2tx?2y?1?0. 所以直线AB过定点(0,). （2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?121. 21?y?tx???22由?，可得x?2tx?1?0. 2?y?x??22于是x1?x2?2t,y1?y2?t?x1?x2??1?2t?1. ?21??. 2??uuuuruuuruuuruuuur2由于EM?AB，而EM?t,t?2，AB与向量(1, t)平行，所以t??t2?2?t?0.解得t=0或t??1. 设M为线段AB的中点，则M?t,t???2uuuur5??当t=0时，|EM|=2，所求圆的方程为x2??y???4； 2??2uuuur5??2当t??1时，|EM|?2，所求圆的方程为x??y???2. 2???,CD?所在圆的极坐标方程分别为??2cos?，22.解：（1）由题设可得，弧???2sin?，???2cos?. AB,BCπ?3π???πM??2sin????，的极坐标方程为2???，4?4???4?3π?M3的极坐标方程为???2cos?????π?. ?4?（2）设P(?,?)，由题设及（1）知 ππ 若0???，则2cos??3，解得??； 46 π3ππ2π若???，则2sin??3，解得??或??； 44333π5π若. ???π，则?2cos??3，解得??46π??π??2π??5π??3,综上，P的极坐标为?3,?或?3,?或?3,或???. 6?6??3??3???23．解：（1）由于[(x?1)?(y?1)?(z?1)]2 所以M1的极坐标方程为??2cos??0????(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?2[(x?1)(y?1)?(y?1)(z?1)?(z?1)(x?1)] 222??3?(x?1)?(y?1)?(z?1)??， 故由已知得(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?当且仅当x= 4， 3151，y??，z??时等号成立． 3334所以(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2的最小值为. 3. . （2）由于 [(x?2)?(y?1)?(z?a)]2 ?(x?2)2?(y?1)2?(z?a)2?2[(x?2)(y?1)?(y?1)(z?a)?(z?a)(x?2)] 222??3?(x?2)?(y?1)?(z?a)??， (2?a)2故由已知(x?2)?(y?1)?(z?a)?， 34?a1?a2a?2当且仅当x?，y?，z?时等号成立． 333(2?a)2222因此(x?2)?(y?1)?(z?a)的最小值为． 3(2?a)21由题设知?，解得a??3或a??1． 33222单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。 .
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