天佑中学2019—2020学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（文）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知a，b，c，d?R，则下列命题中必然成立的是( ) A．若a?b，c?b，则a?c B．若a?b，c?d，则abc?d
C．若a2?b2，则a?b
D．若a??b，则c?a?c?b
2．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1?60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知 2号、32号、47号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为( ) A．12
B．17
C．22
D．27
3．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下
零件数x（个) 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 26 a 49 54 根据上表可得回归方程y??9.4x?9.1，则实数a的值为( ) A．37.3 B．38 C．39 D．39.5
4．某小学六年级一班学生期末测试数学成绩统计如图所示，则该班学生测试成绩的中位数为（ ） A．77.5 B．76.5 C．77
D．76
5．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，则m＝3n的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
6．关于x的不等式x2?(m?2)x?2m?0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为( ) A．(5，6] B．(5,6) C．(2，3] D．(2,3)
7．如图给出的是计算1?11113?5?7?9的值的一个程序框图，则图中
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执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是( ) A．n?n?2，i?5？ B．n?n?2，i?5？ C．n?n?1，i?5？ D．n?n?1，i?5？
8．若x?0，y?0，且
2x?1y?1，x?2y?m2?7m恒成立，则实数 m的取值范围是( )
A．(??，?1)?(8，??) B．(??，?8)?(1，??) C．(?8,1) D．(?1,8)
?x?2y?2?09. 已知变量x，y满足??x?y?2?0，设z＝x2+y2
+2x+2y+2，则z的取值范围是（ ）
??x?4A．
B．
C．[8，41）
D．[8，41]
10．关于x的不等式ax?b?0的解集是(2,??)，则关于x的不等式(2ax?b)(x?3)?0 的解集是( )
A．(??，1)?(3，??) B．(1,3) C．(??，?1)?(3，??) D．(?1,3) 11．已知点A(1,0)，点B(x，y)(x，y?R)，若|AB|?1，则2y?x…1的概率为( ) A．1?1
B．
1?124? C．14??1
D．122?4?12?
12．已知关于x的方程x2?(a?1)x?a?b?1?0的两个根分别为?，?，其中??(0,1)，??(1,??)，则b?1a?1的取值范围是( ) A．(?2,0)
B．(0,2)
C．(?1,0)
D．(0,1)
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．不等式
5?xx?2?1的解集为 ． 14．在区间（1，3）内任取1个数x，则满足log2（2x﹣1）＞1的概率是 ．
15．已知样本数据a12221，a2，a3，a4均为正实数，它们的方差s2?4(a21?a2?a3?a4?16)，则样本数据3a1?1，
3a2?1，3a3?1，3a4?1的平均数为 ．
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16．如图所示是阴阳鱼图案，阴影部分的区域可用不等式组?x2?y2??4?x?0或x2?(y?1)2?1来表示．设(x,y)是阴影中任一点，则??x2?(y?1)2…1z?3x?y的取值范围为 ．
三．解答题（共6小题，17题10分，其余12分，共70分） 17．求下列函数的最值： （1）求函数求函数y＝2x+（x＞1）的最小值．
（2）求函数y?2x?3?2x的最大值.
18．如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y（万元）的几组对照数据：
x（年) 2 3 4 5 6 y（万元） 1 2.5 3 4 4.5
（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
nnxiyi?nxyxi?x)(yi?y)y??bx??a?。 参考公式：b??i?1n??(i?1,a?y?bx，
?nx2i?nx2i?1?(xi?x)2i?1（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？ 19.已知二次函数f（x）＝x2
﹣2
x+2b．
（1）若系数a，b都可随机取集合{0，1，2}中任何一数字，求方程f（x）＝0有实根的概率； （2）若系数a，b都可随机取区间[0，3]中任何一实数，求方程f（x）＝0有实根的概率．
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20．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分）， 将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，
??第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直
方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图； （2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．
21．如图，长方形ABCD表示一张6?12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P)到外边框AB，AD的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN的长分别为m分米，n分米． （1）为使锯掉一块三角形废料MAN的面积最小，试确定m，n的值；
（2）求剩下木板MBCDN的外边框长度(MB，BC，
CD，DN的长度之和）的最大值．
22．已知函数f(x)?x?ax2?2x?3(a?R)． （1）当a=1时，求f(x)?0的解集． （2）解关于x的不等式f(x)?0；
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天佑中学2019—2020学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（文）
参考答案
一．选择题（共12小题，每题5分） 1-6：DBCBAA 7—12：ACCDDA 二．填空题（共4题，每题5分） 13：(??,2)73[,??) 14： 15：5 16：[?4,3] 241?2…22?2，故函数y的最小值为2?22，当且仅当x?1三．解答题（共6小题，17题10分，其余12分，共70分） 17解：（1）y?2(x?1)?2(x?1)2?1，即x?1?2时取得； （5分） 2222（2）因为(2x?3?2x)?2[(2x)?(3?2x)]?6 ，故y的最大值为6，当且
仅当2x?3?2x，即x?3时取得； (10分) 418．解：（1）x?2?3?4?5?61?2.5?3?4?4.5?4，y??3（2分）
555i?1?xyii?15i?2?7.5?12?20?27?68.5，?xi2?4?9?16?25?36?90（4分）
5ii???b?xyi?15?5xy??5x2?xi?1268.5?60???0.4， ??y?bx?0.85 （6分） a90?80i??0.85x?0.4 （8分） ?y关于x的线性回归方程为y??0.85?10?0.4?8.1（10分） 即技术改造后的10年的（2）由（1）得，当x?10时，y维修费用为8.1万，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元．（12分） 19．解：（1）基本事件（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值当a≥0，b≥0时，方程f（x）＝0有实根的充要条件为：a≥2b．A包含的基本事件数为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1）
∴方程f（x）＝0有两个不相等实根的概率：p（A）＝（2）试验的总面积S=9 ，满足a≥2b 的面积S?'4 （6 分） 9＝．（12分）
9， p（B）＝420. 解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
1
（2分） 1?(0.004?0.012?0.016?0.030?0.020?0.006?0.004)?10?0.08．画出图（要在图中标出数值0.008） （4分）
（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
70?0.004?10?80?0.012?10?90?0.016?10?100?0.030?10?110?0.020?10?120?0.006?10?130?0.008?10?140?0.004?10?102（8分）
（3）样本成绩属于第六组的有0.006?10?50?3人，样本成绩属于第八组的有从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名， 0.00?41?05?0人 （10分）基本事件总数n?10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m?4，?他们的分差的绝对值小于10分的概率p?m42（12分） ??．
n10521.解：（1）过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F， 则?PNF∽?MPE，从而
PFNF2n?121，?，即??1．（4分） ??EMPEm?21mn21211欲使锯掉的三角形废料MAN的面积S?mn最小．由1??…得，mn…8（当且2mnmn221仅当?，即m?4，n?2时，“?”成立），此时Smin?4（平方分米）．（7分）
mn（2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即m?n最小． 由（1）知，m?n?(m?n)(（当且仅当
212nm2nm?)?3??…3?2?3?22 mnmnmn2nm“?”成立） （10分） ?即m?2?2?2n时，
mn答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33?22分米．（12分） 22.解（1）当a?1 时，f(x)?x?1?0
(x?1)(x?3)根据穿针引线法的x 的解集为(?1,1]（2）f(x)?x?a
(x?1)(x?3)(3,??) （4分）
① 当a??1 时，x的解集为(??,a](?1,3) （6分）
②当a??1 时，x的解集为(??,?1)(?1,3)
[a,3) （9分）
③当?1?a?3 时，x的解集为(??,?1)④当a?3 时，x的解集为(??,?1) ⑤当a?3 时，x的解集为(??,?1)
(3,a] （12分）
2
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3
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