【分析】（Ⅰ）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），由椭圆E经过点A（0，1），
?=0，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立
，得（2k2+1）x2+4x+6k2﹣2=0，
由此利用根的判别式、直线与圆相切、两点间距离公式，结合已知条件能求出r的值及△OPQ的面积． 【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，其左、右焦点分别为F1、F2， ∴设椭圆E的方程为
=1（a＞b＞0），
∵椭圆E经过点A（0，1），∴b=1， ∵
?
=0，且AF1=AF2，
∴b=c=1，∴a2=1+1=2， ∴椭圆E的方程是
．
（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立，
整理，得（2k2+1）x2+4∴
x+6k2﹣2=0，①
，
∵直线l与椭圆相切，∴△=0，解得k=±1， 代入方程①中，得到代入直线l的方程中，得y=
，解得x=﹣，即P（﹣
，
， ），
又∵直线l与圆x2+y2=r2相切，∴r=
==，
∵|OP|=∴|PQ|=S△OPA=
=． =
=， ，
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21．已知函数f（x）=ex+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求a，b的值；
（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性，极值和最值与导数的关系进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=ex+a， ∵函数f（x）在点（0，1）处的切线与x轴平行， ∴f′（0）=0，
即f′（0）=e0+a=1+a=0，则a=﹣1， 又f（0）=1+b=1，则b=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ex﹣x，
则不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立等价为ex≥mx+n， 即ex﹣mx﹣n≥0，
设g（x）=ex﹣mx﹣n，则g′（x）=ex﹣m，
当m≤0时，g′（x）＞0恒成立，则g（x）在R上递增，没有最小值，故不成立， 当m＞0时，由g′（x）=0得x=lnm，
当g′（x）＜0时，得x＜lnm，当g′（x）＞0时，得x＞lnm，
即当x=lnm时，函数取得最小值g（lnm）=elnm﹣mlnm﹣n=m﹣mlnm﹣n≥0， 即m﹣mlnm≥n，2m﹣mlnm≥m+n，
令h（m）=2m﹣mlnm，则h′（m）=1﹣lnm， 令h′（m）=0得m=e，
当0＜m＜e时，h（m）单调递增，当m＞e时，h（m）单调递减， 故当m=e时，h（m）取得最大值h（e）=e， ∴e≥m+n，
故m+n的最大值为e．
选修4-1：几何证明选讲
22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F． （Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．
【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．
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【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D四点共圆．
（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE?AC=AF?AD，然后求解AE． 【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径， 所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C， 所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°， ∴C，E，F，D四点共圆．
（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，
所以，BC是圆的切线，DB2=DF?DA=4，即BD=2， 所以，AB=
=2
，
=2
，
因为D为BC的中点，所以BC=4，AC=
因为C、E、F、D四点共圆，所以AE?AC=AF?AD，
即2AE=12，即AE=．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+
（θ为参数）有一公共点P（0，2）．
）2+（y﹣1）2=4，C3：
（Ⅰ）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）求出圆C3的普通方程，解方程组得出交点坐标； （2）求出过三点的圆的普通方程，转化为极坐标方程． 【解答】解：（I）圆C3的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4． 联立方程组
，解得
或
．
联立方程组∴M（﹣
，解得
，﹣1），N（
，﹣1）．
或．
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（II）M，N的中垂线方程为x=0，故过点M，N，O三点的圆圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则（r﹣1）2+
=r2，解得r=2．∴圆心坐标为（0，﹣2）．
∴经过三点O、M、N的圆C的直角坐标方程为x2+（y+2）2=4．即x2+y2+4y=0．
∴经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ=0，即ρ=﹣4sinθ．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集； （Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．
【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为5，求得a的值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x﹣3|≥x+8， 若x＜﹣1，则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．
若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求． 若x＞3，则有x+1+x﹣3≥x+8，求得x≥10． 综上可得，x的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|， ∴函数f（x）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5， 解得a=2，或a=﹣8．
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