教师1对1 高中数学教研组 黄林 时间：2011年9月25日
排列组合应用题的解法
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
一、基本原理法
乘法原理和加法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，乘法是分步计数，加法是分类计数。在应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性，在应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。
例1、n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
解一：用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，??，第n个人也是这样。所以一共有2n种可能的结果。
解二：用分类记数的原理，没有人通过，有Cn0种结果；1个人通过，有Cn1种结果，??；n个人通
01nn过，有Cnn种结果。所以一共有CC种可能的结果。 ????C?2nnn
例2、如图，用六种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有多少种?
解：如果按从左至右的顺序去涂色，当涂到第4个格子时会发现，第三个格子的颜色与第一个格子的
颜色是否相同决定着第4个格子有几种涂色方法，即如果第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的，则第四个格子的涂色情况不定．于是，我们要按照1、3两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题．
1、3两个格子颜色相同时，按分步计数原理，有6×5×1×5＝150种方法； 1、3两个格子颜色不相同时，按分步计数原理，有6×5×4×4＝480种方法． 所以，共有不同的涂色方法630种．
二、树图法：
对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示出来，即利用线段来表示排列、组合中元素间的关系，是解决计数问题的一种最简单、最直观的方法。
例3、同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
解一：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为A、B、C、D。 甲 乙 丙 丁 / A-D-C
B- C-D-A ?3种 \\ D-A-C
?B、C、D的地位相同 ?共有3?3?9种不同的分配方式。
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三、枚举法
就是把符合条件的情况通过归纳后一一列举出来，直观地解决排列组合问题的方法。
例4、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．
解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，?，第10垄，要求A，B两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步
2种植两种作物共有A2＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法．
【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．
对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的，如本题。 在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题．
四、定义法
在解计数问题时，应抓住不同元素的“有序”或“无序”因素，利用排列组合的定义直接解答计数问题的方法。
例5、 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次．
解：分步：第一步：确定左边第一位数字，只能为0，有1种方法；第二步：确定第三位数字，只能
为1至5中的一个数，有5种方法；第三步：确定第五位数字，也只能为1至5中的一个数(又不能与第三位相同)，有4种方法；第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，
3剩下的7个数字排列在2，4，6位共有P7种排法。 3由分步计数原理得：1×5×4×P7＝4200种．
【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其它位。
例6、一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。显然，必须有2步中每步走2级，6步
中每步走一级。记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B，其余的填写A，这是一个组合问题，
所以共有C8= 28（种）
2五、优限（先）法
把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法，即优先考虑受限制的位置或元素的方法。一般有“三先三后”原则：（1）先分类后分步；（2）先特殊后一般；（3）先组合后排列。
例7、 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
解一：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有
5第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有P5种站法，故共有：P41?P55?480（种） P41种站法；
解二：（位置分析法）由左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有P5种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有P4种，故共有：P5?P4?480（种）
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例8、（04天津高考）从1，3，5，7，中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个。 解：（元素、位置分析法）符合条件的四位数的个位必须是0、5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在首位，0排在十位、百位和不含0为标准分为三类： ① ② ③
120排在个位能被5整除的四位数有C4C4P33?144（个） 11125排在个位，含0的四位数有 C4C3C2P2?48（个） 125排在个位，不含0的四位数有C3C4P33?108（个）
?????? 由分类计数原理得所求的四位数共有300个。
六、 捆绑法
对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个大元素，与其他元素
一起进行全排列，然后对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻排列问题的“捆绑”方法。 例9、8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
解：把甲、乙、丙先排好，有P22种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相
当于6个人排成一排，有P66种排法，所以一共有P22P66=1440种排法。
七、插空法
对于某些元素互不相邻的排列问题，可先将其它元素排成一排，然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题最有效的插空法。
例10、排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
解：先排5个不是小品的节目，有P55种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有5个空隙，将
3个小品插入进去，有P53种排法，所以一共有P55P53=7200种排法。
例11、（04辽宁高考）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2个就座，规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2人不能左右相邻，那么不同排法的种数是（ ） (A) 234 (B) 346 (C)350 (D) 363 解一：（插空法）先将前排中间的5号、6号、7号座位和待安排2人的取出，再将剩下的18座位排成一列，然后将待安排2人的座位插入这18座位之间及两端的空隙中，使这2人的座位互不相邻，有P19种方法；
但在前排的4号与8号座位、前排的11号与后排的1号座位之间可以同时插入待安排2人的座位满足条件，有2P2种方法。
由分类计数原理得到不同排法的种数有P，选（B）。 19?2P2?342?4?346（种）解二（排除法）P20?21C11P22?122C3P2?346（种） 2222 3
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（无限制数）（2人在后排相邻）（2人在前排相邻）
八、排除法（间接法）
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限
制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在运用此法时应注意做到不重不漏。
例12、 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ） A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
4解：没有限制地从10个点中选出4个点，共有C10种不同选法，除去4点共面的选法即可。
4点共面的选法有三类：
4第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有4C6种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，如图中点A，E，B，G平面，共计有6种共面的情况；
第三类，过四面体的四条棱的中点，而且与一组对棱平行的平面，如图E，F，G，H平面，此类
选法共有3种。
44所以不同的取法共有：C10?4C6?3?6?141（种）
例13、8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？
解：无限制条件有P88种排法。A与B、A与C都不能站在一起的反面是A与B或A与C站在一起，
用排除法必须增加A、B、C三人站在一起且A在中间的排法，
82726所以一共有P8?2P2P7+P2P6 = 21600种排法。
九、比例法
机会均等法：对于部分元素定序排列问题，可先把定序元素与其它元素一同进行全排列，然后根据定序排列在整体排列中出现的概率，即用定序排列数去均分总排列数获解。
比例法：有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得问题的结果。 例14、10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？
3解：（机会均等法）甲、乙、丙三人排列（可以相邻，也可以不相邻）一共有P3?6种排法，在这6
种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法
10P10种数为3?604800（种）
P3
例15、从6个运动员中选出4个参加4×100 米接力赛。如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少
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