2013北京中考数学试题及答案

当 x ? ?1 时， y ? ?2x(?1) ? 2 ? ?4 则抛物线过点（-1，4） 当 x ? ?1 时， m ? 2m ? 2 ? 4 ， m ? 2

∴抛物线解析为 y ? 2x2 ? 4x ? 2 .

．解：（1） 30?? 1

??

2

（2）△ABE 为等边三角形 证

明连接 AD 、 CD 、 ED ∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60? 得到线段 BD 则 BC ? BD ， ?DBC ? 60??又∵ ?ABE ? 60??

∴ ?ABD ? 60? ? ?DBE ? ?EBC ? 30? ? 1 ??

2

且 △BCD 为等边三角形. 在 △ABD 与△ACO 中

? AB ? AC ??? AD ? AD ???

BD ? CD ∴ △ABD ≌△ACD （SSS） ∴ ?BAD ? ?CAD ? 1 ?BAC ? 1 ??

2 2

∵ ?BCE ? 150??∴ ?BEC ? 180? ? (30? ? 1 ? ) ? 150? ? 1 ??

2 2

在 △ABD 与△EBC 中

??BEC ? ?BAD ????EBC ? ?ABD ???

BC ? BD ∴ △ABD ≌△EBC （AAS） ∴ AB ? BE

∴ △ABE 为等边三角形 （3）∵ ?BCD ? 60? ， ?BCE ? 150??

∴ ?DCE ? 150? ? 60? ? 90??又∵ ?DEC ? 45??∴ △DCE 为等腰直角三角形 ∴ DC ? CE ? BC ∵ ?BCE ? 150??

∴ ?EBC ?

(180??? 150?) ? 15??

2

而 ?EBC ? 30? ? 1 ? ? 15??

2

A

D E

B

C

24

∴? ? 30??

?

25. 解：(1) ① D、E ；

② 由题意可知，若 P 点要刚好是圆 C 的关联点；

需要点 P 到圆 C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角度为 60? ； 由图1 可知 ?APB ? 60? ，则 ?CPB ? 30? ，

BC ? 2BC ? 2r ； 连接 BC ，则 PC ??sin ?CPB

∴若 P 点为圆 C 的关联点；则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0 ? d ? 2r ； 由上述证明可知，考虑临界位置的 P 点，如图 2； P 点 P 到原点的距离 OP ? 2?1? 2 ； 过 O 作 x 轴的垂线 OH ，垂足为 H ； OF 2 3 t an?OGF ? ? ? 3 ；

OG 2

∴ ?OGF ? 60? ；

A C

B

∴ OH ? OG?sin 60? ? 3 ；

图1

OH 3 ∴ sin ?OPH ? ? ；

OP 2

∴ ?OPH ? 60? ；

y G(P1) H 易得点 P1 与点 G 重合，过 P2 作 P2 M ? x 轴于点 M ； 易得 ?P2 OM ? 30? ； ∴ OM ? OP2 ?cos30? ? 3 ；

O M F x 图2

从而若点 P 为圆 P 点必在线段 O 的关联点，则 P1 P2 上；

0 ? m ? 3 ； ∴

(2) 若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段 EF 的中点； 考虑临界情况，如图 3；

1 即恰好 E、F 点为圆 K 的关联时，则 KF ? 2KN ? EF ? 2 ；

∴此时 r ?1 ；

故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径 r 的取值范围为 r ?1.

2

y F x K N E 图3