2018年高考数学总复习 随机变量及其分布

月13日中的某一天到达该市，并停留2天。

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；

(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。

分析：(1)重度污染的只有2天，由于到达的日期是随机的，根据古典概型求解；(2)随机变量X=0,1,2，根据图表中连续2天的空气质量指数求出X=0,1,2对应的基本事件个数，根据古典概型可得其分布列，然后使用数学期望的公式计算其数学期望。

解析：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13)。

1，且Ai∩Aj=?(i?j)。 13(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A5∪A8。 根据题意，P(Ai)?2。 13(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且 所以P(B)?P(A5A8)?P(A5)?P(A8)?P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=

4， 13

4

P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=，

135

P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=,

13所以X的分布列为:

X P 0 5 131 4 132 4 1354412

故X的期望EX=0?+1?+2?=。

13131313

变式1 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，

12除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果

23相互独立。

(1)分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率；

(2)若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分；对方得1分。求乙队得分X的分布列及数学期望。

变式2 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历。假定

2该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否

3让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试的公司个数。若P(X?0)?1，则随机12变量X的数学期望E(X)=__________。

例13.11(2012天津理16)

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择。为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏。

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)用x，y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记?=|x-y|，求随机变量?的分布列与数学期望E?。

12解析：由题意可知，某个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为。

33设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4)， 12则P(Ai)?Ci4()i()4?i。

3312228(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(Ai)?C2()()?。 43327(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B=A3

1321414∪A4，由于A3与A4互斥，故P(B)?P(A3)?P(A4)?C3。 4()()?C4()?3339(3)?的所有可能取值为0，2，4。

84017，P(??2)?P(A1)?P(A3)?，P(??4)?P(A0)?P(A4)?， 278181随机变量?的分布列为 P(??0)?P(A2)?? P 故E??0?0 2 4 827 4081 1781 84040148。 ?2??4??27818181评注：(1)运用独立重复试验的概率公式解题时常把所求的概率事件分拆为若干个事件，而每个事件均为独立重复试验；

(2)解第(3)问时要明确随机变量所取的每个值所表示的事件，否则就无法求出它的概率。

变式1 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3。设各车主购买保险相互独立。

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。 变式2 (2013辽宁理19)

现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。 (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；

(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题。设张同学答对每道甲类题的概率

34都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立。用X表示张同学答对题

55的个数，求X的分布列和数学期望。

例13.12某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别。公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料。若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元。令X表示此人选对A饮料的杯数。假设此人对A和B没有鉴别能力。

(1)求X的分布列；

(2)求此员工月工资的期望。

解析：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

?iCi4C44P(X?i)?(i=0,1,2,3,4)，故X服从N=8，M=4，n=4的超几何分布，即X的分4C8布列为：

X P 0 1 2 3 4 170 835 1835 835 170 (2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500， 则P(Y?3500)?P(X?4)?1， 70P(Y?2800)?P(X?3)?P(Y?2100)?P(X?2)?则E(Y)?3500?8， 3553， 701853?2800??2100??2280， 703570所以此员工月工资的期望为2280元。 例13.13(2012全国新课标理18)

某花店每天以每5枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n?N)的函数解析式。

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理后如表13-2所示：

日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列，数学期望及方差；

(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？ 请说明理由。

解析：(1)当日需求量n?16时，利润y=80， 当日需求量n<16时，利润y=10n-80，

?10n?80,n?16

所以关于n的函数解析式为y??(n?N)。

80,n?16?(2)(i)X可能的取值为60，70，80，且P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7，

所以X的分布列为

X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的数学期望EX=60?0.1+70?0.2+80?0.7=76， 222

X的方差DX=(60-76)?0.1+(70-76)?0.2+(80-76)?0.7=44。 (ii)答案一：花店一天应购进17枝玫瑰花，理由如下：

若花店一天应购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)， 那么Y的分布列为： Y P 55 0.1 65 0.2 75 85 0.16 0.54 Y的数学期望E(Y)=55?0.1+65?0.2+75?0.16+85?0.54=76.4。

结合(i)可知，E(X)

答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花，理由如下：

若花店一天应购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)， 那么Y的分布列为：

Y P 55 0.1 65 0.2 75 85 0.16 0.54 Y的方差

2222

D(Y)=(55-76.4)?0.1+(65-76.4)?0.2+(75-76.4)?0.16+(85-76.4)?0.54=1112.04。 由以上的计算结果可以看出，D(X)

变式1 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需要量的频率分布直方图，如图13-11所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X(单位：t，100?x?150)表示市场需要量，T表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润了不少于37000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需要量取该区间中点值的概率(例如：若X?[100,110)，则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望。

频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 O 100 110 120 130 140 150 t 图 13-11 变式2 某算法的程序框图如图13-12所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生。

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3)；

(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运算n次后，统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数。表13-3和表13-4分别是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

表13-3 甲的频数统计表(部分) 运行次数n 30 … 2100 运行次数n 30 … 2100 输出y的值为1的频数 14 … 1027 输出y的值为1的频数 12 … 1051 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 6 … 376 表13-4 乙的频数统计表(部分) 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 11 … 696 7 … 353 10 … 697 当n=2100时，根据表中的数据，分别求出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位编写程序符合算法要求的可能性较大；

(3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数?的分布列及数学期望。

开始 输入x x为偶数? 是 否 y?1 y?2 否 x能被3整除？ 是 y?3 输出y P结束P图11-5 题型 180正态分布

思路提示

正态分布概率密度函数f(x)?12πσ e?(x?μ)22σ2，记为X～N(?,?)，概率计算

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