4.解析几何
x2y23
1.如图，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P(2，－1).
ab2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，
y2)两点，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值.
解 (1)由e＝＝ca3
，得a∶b∶c＝2∶1∶3， 2
x2y2
椭圆C的方程为2＋2＝1.
4bb把P(2，－1)代入，得b＝2， 所以椭圆C的方程是＋＝1.
82
(2)由已知得PA，PB的斜率存在，且互为相反数. 设直线PA的方程为y＋1＝k(x－2)，其中k≠0. 由?
?y＋1＝k?x－2?，?
??x＋4y＝8
2
2
2
2
2
x2y2
消去y，得x＋4[kx－(2k＋1)]＝8，
2
22
即(1＋4k)x－8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)－8＝0， 因为该方程的两根为2，xA， 4?2k＋1?－8所以2xA＝， 21＋4k8k＋8k－2即xA＝， 2
1＋4k4k－4k－1
从而yA＝. 24k＋1
8k－8k－24k＋4k－1
把k换成－k，得xB＝，yB＝. 22
1＋4k4k＋1故kAB＝2
2
22
2
yB－yA8k1
＝＝－，是定值. xB－xA－16k2
x2y22
2.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的短轴长为23，且离心率e＝.
ab2
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在定圆E，使得过圆E上的任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，
l2与椭圆C都只有一个公共点？若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由. x2y22
解 (1)由椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为得，a＝2c，
ab2
又短轴长为23，所以2b＝23，b＝3. 又b＋c＝a，得a＝6，b＝c＝3， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 63
(2)假设满足条件的圆E存在，则可设P(x0，x0)是圆E上的任意一点，当过P的直线l的斜率为k时，其方程为y＝k(x－x0)＋y0，代入＋＝1，得＋
636
2
2
2
x2y2
x2y2x2?kx－kx0＋y0?2
3
＝1.
即(1＋2k)x＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)－6＝0.
2
2
2
①
若直线l与椭圆C的公共点只有一个，则①中判别式Δ＝0， 即16k(y0－kx0)－8(1＋2k)[(y0－kx0)－3]＝0. 整理得关于k的方程(6－x0)k＋2x0y0k－y0＋3＝0，
2
2
2
2
2
2
2
②
要使过圆E上任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，则方程②必须有两根，且两根之积为－1， －y0＋322
故2＝－1，即x0＋y0＝9，满足②中的判别式Δ>0. 6－x0
又对于点(6，3)，(－6，3)，(6，－3)，(－6，－3)，直线l1，l2中有一条的斜率不存在，另一条的斜率为0，显然成立，故满足条件的圆E存在，方程为x＋y＝9. 3.已知中心在坐标原点的椭圆E的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M?1，(1)求椭圆E的标准方程；
→→
(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且F2A＝λF2B，若λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC的长度的最小值.
2
2
2
??2??. 2?
x2y2
解 (1)设椭圆E的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，易知c＝1.
ab因为椭圆E过定点M?1，??112?
?，所以a2＋2b2＝1， 2?
结合c＝a－b可得a＝2，b＝1， 所以椭圆E的标准方程为＋y＝1.
2(2)由题意可设l：x＝ky＋1，由?＋2)＝8(k＋1)>0.
－2k±8?k＋1?－k±2?k＋1?设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为y1,2＝＝， 2
2?k＋2?k2＋2
2
2
2
222
x2
2
?x＝ky＋1，?
2
2
??x＋2y－2＝0
得(k＋2)y＋2ky－1＝0，则Δ＝4k＋4(k2222
??－1所以?yy＝，②
k＋2
??y＝λy?－2≤λ≤－1?， ③
12
21
2
2
－2ky1＋y2＝2， ①
k＋2
2
22
y1y2－4k14k由①÷②得＋＋2＝2?λ＋＋2＝－2，
y2y1k＋2λk＋2
111－4k22
由λ∈[－2，－1]得－≤λ＋＋2≤0?－≤2≤0，解得0≤k≤.
2λ2k＋27→
2
QA＝(x1－2，y1)，QB＝(x2－2，y2)，QA＋QB＝(x1＋x2－4，y1＋y2)，
4?k＋1?
x1＋x2－4＝k(y1＋y2)－2＝－2，
k＋2
16?k＋1?4k288→→
QC＝|QA＋QB|2＝(x1＋x2－4)2＋(y1＋y2)2＝2＋2. 2＋22＝16－2?k＋2??k＋2?k＋2?k＋2?22
2
2
2
→→→
令t＝
1?71??7?21722
，则t∈?，?，QC＝8t－28t＋16＝8?t－?－. k＋2?162??4?2
2
1
所以当t＝时，(QC)min＝2.
2
x2y2
4.已知A，F分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，
ab当PF⊥x轴时，AF＝2PF. (1)求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积； (3)记圆O：x＋y＝2
2
ab2
a＋b2
为椭圆C的“关联圆”. 若b＝3，过点P作椭圆C的“关联圆”
34
的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：2＋2为定
mn值.
(1)解 由PF⊥x轴，知xP＝c，代入椭圆C的方程，
c2y2b2得Pa2＋b2＝1，解得yP＝±a. 2
又AF＝2PF，所以a＋c＝2b22
a，所以a＋ac＝2b，
即a2－2c2－ac＝0，所以2e2
＋e－1＝0， 由0 2 . (2)解 因为四边形AOPQ是平行四边形， 所以PQ＝a且PQ∥x轴， 所以xa3 P＝2，代入椭圆C的方程，解得yP＝±2 b， 因为点P在第一象限，所以yP＝ 3 2 b， 同理可得xa2，y3 Q＝－Q＝2 b， 3b3b2 所以k2 2 bAPkOQ＝ a·a＝－a2， 2－?－a?－2 由(1)知e＝ca＝12，得b233 a2＝4，所以kAPkOQ＝－4. (3)证明 由(1)知e＝ca＝1 2 ，又b＝3，解得a＝2， 所以椭圆C的方程为x2y2 4＋3＝1， 圆O的方程为x2＋y2 ＝237 . 连结OM，ON(图略)，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN， 所以四边形OMPN的外接圆是以OP为直径的圆， 设P(xOMPN的外接圆方程为??x0?x－2??2?＋??y0?y－2??21?＝4 (x22 0，y0)，则四边形0＋y0)，即x2 －xx2 0＋y－yy0＝0. ①－②，得直线MN的方程为xx23 0＋yy0＝7， 令y＝0，则m＝237x，令x＝0，则n＝23 . 07y0 ① ② ?x0y0?所以2＋2＝49?＋?， mn?43? 3 4 因为点P在椭圆C上， 34 所以＋＝1，所以2＋2＝49(为定值). 43mn 22 x2y200 x2y2 5.如图，已知椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点， abMN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－2的直线l与AF平行且与圆C2相切. (1)求椭圆C1的离心率； →→ (2)若椭圆C1的短轴长为8，求PM·PN的最大值. 解 (1)由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF＝－. 因为在y轴上截距为3－2的直线l与AF平行， 所以直线l：y＝－x＋3－2，即bx＋cy＋(2－3)c＝0. 因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r＝1，且直线l与圆C2相切，所以2. 2 |2c| ＝1，即2 2c＝1， bcbcb2＋ca所以e＝ (2)因为椭圆C1的短轴长为8，所以2b＝8，即b＝4. 因为a＝b＋c，e＝ 2 2 2 2222，所以a＝2c,2c＝b＋c. 2 所以c＝b＝4，a＝42，所以椭圆方程为＋＝1. 3216设P(x，y)，则 →→→→→→PM·PN＝(PC2＋C2M)·(PC2＋C2N) →2→→→→→＝PC2＋PC2·(C2M＋C2N)＋C2M·C2N →2→→＝PC2＋C2M·C2N x2y2
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