结构动力学基础(new)2

图1.6－7 线性加速度

为了确定速度和位移的具体表达式，将式（1-6.11）分别进行一次和二次积分运算，得到：

?u??(ti)(t?ti)2 1-6.12

（） u?(t)?u?(ti)?u??(ti)(t?ti)?2?tu??(ti)(t?ti)2?u??(ti)(t?ti)3 （1-6.13） u(t)?u(ti)?u?(ti)(t?ti)??26?t为了便于计算，将?u?(ti)和?u??(ti) 用?u(ti)表示：

?u?(ti)??u??(ti)?3?t??u(ti)?3u(ti)?u??(ti) （1-6.14）

?t266?u(t)?u?(ti)?3u??(ti) （1-6.15） i2?t?t将式（1-6.14）和（1-6.15）带回地震振动方程的增量式（1-6.9），整理后得到增量拟静力平衡方程：

k*?u(ti)??P*(ti) （1-6.16）

式中：k?k?*63m?c 为等效刚度； （1-6.17） 2?t?t?6??*?????P(t)??m?u(t)?mu(t)?3u(t) igiii? ??t??

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?t???c?3u?(ti)?u??(ti)?为等效增量荷载。 （1-6.18）

2??这样，由式（1-6.16）求出位移增量?u(ti)以后，再分别由式（1-6.14）和（1-6.15）计算出速度增量和加速度增量，再算出该时间区间末端的反应，并将其作为下一时间区间始端的反应值，重复以上计算过程即可以求得下一时间区间末端的反应。

在绘制反应谱时，将上述逐步积分连续进行，直到整个地震记录结束为止。记录的反应函数中的最大值就是激振时体系的反应。通过改变体系的自振频率来改变体系的参数，重复以上计算过程，得到新的最大反应。将这种计算重复进行，直到计算出所有感兴趣的频率，并将结果绘图。因为不存在两个完全相同的地震，因此这样的计算应该对所有感兴趣的地震重复进行。

这里存在着选取合适的时间增量?t的问题。与任何一种数值方法一样，逐步积分法的精度依赖于所选取的时间增量?t的大小。在选取?t时应考虑以下因素：

结构的固有周期，通常选取的时间间隔不大于结构固有周期的1／10。

荷载的变化速率，即考虑时间间隔应该小到足以充分代表相对于时间变化的荷载变量。

刚度与阻尼函数的复杂程度，即应该考虑任何刚度和阻尼函数变化速率的突变。例如，在弹塑性材料的一般假定中，从线弹性到屈服塑性阶段刚度的突然变化，此时，为了获得最好的精度，在显著变化段附近应该选取较小的时间步长。

以上概述了单自由度体系的振动问题。对于多自由度体系的结构，可以证明：具有n个自由度体系的动力分析可以变换为求解n个单自由度体系的动力分析问题，请参考有关文献资料。

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