2019年甘肃省兰州市中考数学试卷(a卷)-真题试卷

（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标． 【分析】（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可；

（2）由已知分别求出M（2，0），N（2，1），D（2，3），根据∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积即可求解；

（3）由已知可得M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），根据勾股定理可得PC2＝（2t﹣1）

2

+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，再由PB＝PC，得到m与t的关系式：m＝4t﹣5，

?

＝﹣1求出t＝1或t＝2，即可求D点坐标；

因为PC⊥PB，则有

（4）当t＝时，M（，0），可知点Q在抛物线对称轴x＝上；过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝的交点分别为Q1与Q2，由AB＝5，可得圆半径AM＝，即可求Q点坐标分别为（，﹣），（，）． 【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2， ∴a＝﹣，b＝， ∴y＝﹣x2+x+2； （2）C（0，2），

∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2， 当t＝时，AM＝3， ∵AB＝5， ∴MB＝2，

∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），

∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝×2×2＝2； （3）∵BM＝5﹣2t， ∴M（2t﹣1，0）， 设P（2t﹣1，m），

∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2， ∵PB＝PC，

∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2， ∴m＝4t﹣5，

MB×DM﹣

MB×MN＝

∴P（2t﹣1，4t﹣5）， ∵PC⊥PB， ∴

?

＝﹣1

∴t＝1或t＝2，

∴M（1，0）或M（3，0）， ∴D（1，3）或D（3，2）； （4）当t＝时，M（，0）， ∴点Q在抛物线对称轴x＝上，

如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝的交点分别为Q1与Q2， ∵AB＝5， ∴AM＝，

∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°， ∴∠AQ1C＝∠MAG，

又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG， ∴Q1（，﹣）， ∵Q1与Q2关于x轴对称， ∴Q2（，），

∴Q点坐标分别为（，﹣），（，）；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．