x(t)e?j2?f0t?X(f?f0) (2-43)
该式说明，信号x(t)乘复指数e?j2?f0t(常称复调制)后，信号的时域描述已大大改变，从实信号改变为复信号，但其频谱现状不变，只是在频域内移动了?f0，如图2-3所示。
图2-3 信号的频移
2.6.3 Parseval定理
帕塞瓦尔定理指出，在时域中计算的总能量，等于在频域中计算的信号总能量。
????x(t)2dt??|X(f)|2df (2-44)
???式又叫做能量等式。这个定理可以用傅立叶变换的卷积公式导出。
|X(f)|2称为能谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整个时间轴上信号平均功
率为
?1T21P??lim?x(t)dt??lim|X(f)|2df (2-45)
??T??TT??T0因此，自功率谱与幅值谱的关系为
Sx(f)?lim1|X(f)|2 (2-46) T??T2.7 信号处理中出现的现象
2.7.1 频率混叠现象
如果采样的时间间隔Ts太大，既采样频率fs太低，平均距离1/Ts过小，那么移至各采样脉冲所在处的频谱X(f)就会有一部分交叠，新合成的X(f)*S(f)图形与原X(f)不一致，这种现象称为频谱混叠现象错误！未找到引用源。，如图2-4所示。
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图2-4 频率混叠现象
在时域采样过程中，若已知信号的最高频率为fh(即频谱分析范围时)，为了避免在DFT运算过程中发生频率混叠现象，要求抽样频率fs满足下式：
fs?2fh
也就是抽样间隔T满足
T?11? fs2fh一般应取
fs?(2.5~3.0)fh
如果不满足fs?2fh的要求，就产生频率响应的周期延拓分量互相重叠的现象，也就是产生频率响应的混叠失真。 2.7.2 频谱泄漏现象
数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换．而傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系错误！未找到引用源。。不过，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。无线长的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f(0)处的能量被分散到两个较宽的频带
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中去了(这种现象称之为频谱能量泄漏)。
为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。有关窗的知识在2.3节中有详细介绍。
信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是有限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差。
泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。 2.7.3 栅栏效应
因为DFT计算频谱只在限制为基频F0的整数倍处的谱，而不是连续的频率函数，这种只能在离散点的地方才能看到真实景象的现象就被称为“栅栏效应”。
减小栅栏效应的一个办法就是使频域抽样更密，即增加频域抽样点数N，在不改变时域数据的情况下，必然是在时域数据末端添加一些零值点，使一个周期内的点数增加，但不改变原有的记录数据。频域抽样为近，谱线更密，栅栏效应就减小了。
如果数据长度T01，抽样点数N1，补零后的数据长度T02，抽样点数N2，则
fs1? N1T01f1F02?s?
N2T02因为N2>N1，故F01 F01?2?k，N增加，必然使样点间距离更N误的。原因是补零后，不能增加数据的有效长度，上例中的实际长度仍为T01，因而补零是不能提高频率分辨力的。 补零的好处：(1)克服栅栏效应；(2)使N为2的整数幂值，便于FFT计算。 减小栅栏效应的另一个办法就是使采样频率更小，在采样点数相等的情况下，减小采样频率可以使频率分辨率更小，从而达到减小栅栏效应的目的错误！未找到引用源。。 第 18 页 2.8 系统幅频特性 2.8.1 频率响应函数 正弦信号可以用旋转矢量来表示。一个幅值为X，频率为?，出相位为?的正弦信号可写为 x(t)?Xej?t?Xej?ej?t?Xej(?t??) (2-47) 根据频率保持特性，该信号通过线性系统的输出是 y(t)?Xej?t?Xej?ej?t?Xej(?t??) (2-48) 将上述的x(t)和y(t)的表达式代入线性系统的表达通式 ?(t)?a0y(t)any(n)(t)?an?1y(n?1)(t)????a1y?bmy(m)(t)?bm?1y(m?1)?(t)?b0y(t)(t)????b1y (2-49) 可得 Ybm(j?)m?bm?1(j?)m?1????b1(j?)?b0? (2-50) Xan(j?)n?an?1(j?)n?1????a1(j?)?a0式(2-50)等号右边的分母由系统参数和频率变量组成的复函数，定义为系统的频率响应函数H(?)，即 YYj(???)bm(j?)m?bm?1(j?)m?1????b1(j?)?b0H(?)??e? (2-51) XXan(j?)n?an?1(j?)n?1????a1(j?)?a0H(?)的模称为系统的幅频特性A(?)，则 A(?)?|H(?)|?H(?)的幅角称为系统的相频特性?(?)，则 Y (2-52) X?(?)??H(?)???? (2-53) 所以，系统的幅频特性A(?)表示系统在正弦输入输出时，输出与输入的幅值之比；相频特性?(?)表示输出与输入之间的相位差，它们是频率的函数。幅频、相频特性的组合就是系统的频率响应函数H(?) H(?)?A(?)ej?(?) (2-54) 若输入信号x(t)?Xsin(?0t??)，那么通过线性系统的输出y(t)就可以写为 y(t)?A(?0)?Xsin(?0t????(?0)) (2-55) 第 19 页 ???0时的值。 式中，A(?0)和?(?0)分别是系统的幅频、相频特性在
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