指数函数与对数函数图像交点个数问题

x探究函数y?a与y?logax图象的交点个数问题

函数y?ax与y?logax (a?0,且a?1)互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a的取值．在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探究它们图象的交点个数问题．

?y?ax探究 由?， 得

?y?logax（1）当a?1时

x

??y?a

?y

??a?x

①

(其中x?0,y?0) ②

①+②，得y?ay?ax?x. 令f(x)?ax?x,x?0. 则f(y)?f(x),即

f(ax)?f(x).

xx∵a?1, ∴f(x)为增函数, ∴a?x. 两边取自然对数,得lna?lnx,即

xlna?lnx?0.

令g(x)?xlna?lnx,x?0. 求导,得g?(x)?lna?当x变化时，g?(x),g(x)的变化情况如下表：

11． 令g?(x)?0,得x?． xlnax g?(x) g(x) (0,1) lna— ↘ 1 lna0 极小值 (1,??) lna+ ↗ 由上表可知,当x?11?1?ln?lna?． 时,g(x)极小值=1?lnlnalna∵g(x)只有一个极值,∴ g(x)min?1?ln?lna?. (ⅰ) 当1?ln?lna??0，即a?e1e时，方程g(x)?0无解，此时函数y?ax与

y?logax的图象没有交点；

x(ⅱ) 当1?ln?lna??0，即a?e时，方程g(x)?0有一解，此时函数y?a与

1ey?logax的图象有一个交点；

(ⅲ) 当1?ln?lna??0，即1?a?e时，由于g(x)在?0,???内连续，且当x?0时，

?1eg(x)???；当x???时，g(x)???，∴方程g(x)?0有两解，此时函数y?ax与

y?logax的图象有两个交点．

（2）当0?a?1时 由①、②，消去y，得

xaax?x ③

由于a?0，且0?a?1，故0?aax?1,即0?x?1．

xx对③式两边取自然对数，得alna?lnx，即a?lnx． lna两边取自然对数，得xlna?ln令h(x)?lnlnx． lnalnx1?xlna,x??0,1?．求导，得h?(x)??lna． lnaxlnx11,x?(0,1)．则??(x)?lnx?1． 由h?(x)?0，得xlnx?．令?(x)?xlnx?lnalna111由??(x)?0，得x?． 当x?(0,)时，??(x)?0；当x?(,1)时，??(x)?0．

eee1111∴当x?时，?(x)min??()???．

eeelna1111?0，即a?e时，?(x)?0恒成立．∴xlnx? (ⅰ) 当??，∵0?a?1，

elnaelna1110?x?1，∴?lna?0，即h?(x)?0，当且仅当a?e，且x?时取“＝”号． ∴

xlnxeeh(x)在(0,1)内是减函数． 又∵当x?0?时，h(x)???；当x?1?时，h(x)???，

且h(x)在(0,1)内连续，∴方程h(x)?0恰有一解，此时函数y?a与y?logax的图象有一个交点． (ⅱ) 当?x1111??0，即0?a?e时，∵lim?(x)?lim?(x)???0，且?(x)在??x?0x?1elnaelna11(0,1)内连续，∴存在m?(0,),n?(,1)，使得?(m)??(n)?0，∴h?(m)?h?(n)?0.

ee当x变化时，h?(x),h(x)的变化情况如下表：

x (0,m) － ↘ (m,n) + ↗ (n,1) － ↘ h?(x) h(x) 由上表可知，h(x)在(0,m)内是减函数，在(m,n)内是增函数，在(n,1)内是减函数.

1e下面证明,h(a)?0,h()?0.

1e1lnah(a)?ln?aelnalna1e1e1e??1?alna1ee1e,

0?a?1ee. 令

F(a)???1?alna,

0?a?. 则当

0?a?1ee时,

111?1?11?111111F?(a)??aelna?ae???ae(lna?1)??ae(lne?1)?0.

eaeee∴F(a)在(0,111)(0,]0?a?内是增函数, 又∵在上连续, ∴当时, F(a)eeeeee11F(a)?F(e)?0,即h(ae)?0.

e11111??ln(?lna)?lna,0?a?e. h()?lne?lnaeeelnae1G(a)??ln(?lna)?lna,

e11110?a?e.易证它为减函数, ∴当0?a?e时,G(a)?G(e)?0,即h()?0.

eeeeln令

111??∵0?a?e, ∴0?ae??1, 又∵当x?0时，h(x)???； 当x?1时，

ee1h(x)???，且h(x)在(0,1)内连续，结合h(x)的单调性, ∴h(x)在区间(0,a),(a,),

e1(,1)内各有一个解. ∴此时函数y?ax与y?logax的图象有三个交点． e综上所述, 函数y?a与y?logax(a?0,且a?1)图象的交点有如下情况： 当a?e时，没有交点； 当a?e时，有一个交点； 当1?a?e时，有两个交点；

1e1e1ex1e1e1?a?1时,有一个交点； ee1当0?a?e时，有三个交点．

e当