设平面PAM的法向量为n?(x,y,z)．
uuuruuur??2y?23z?0由AP?n?0,AM?n?0得?，可取n?(3(a?4),3a,?a)，
??ax?(4?a)y?0uuur所以cosOB,n?23(a?4)23(a?4)?3a?a222．
uuur3由已知可得|cosOB,n|?．
2所以23|a?4|23(a?4)2?3a2?a2=34．解得a??4（舍去），a?． 23所以n?(?83434,,?)． 333uuuruuur3又PC?(0,2,?23)，所以cosPC,n?．
4所以PC与平面PAM所成角的正弦值为21．解：
3． 4（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x2?1)e?x?1?0．
设函数g(x)?(x2?1)e?x?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x． 当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1． （2）设函数h(x)?1?ax2e?x．
f(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．
（i）当a?0时，h(x)?0，h(x)没有零点； （ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e?x．
当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增．
故h(2)?1?4a是h(x)在[0,??)的最小值． e22e①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；
42e②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；
42e③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，
433316a16a16a1x2h(4a)?1??1??1??1??0． x?01由（）知，当时，e?x，所以
e4a(e2a)2(2a)4a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．
2e综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．
422．解：
x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为??1．
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
t2，因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，
则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??k?tan???2．
4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率
1?3cos2?23．解：
?2x?4,x??1,?（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,
??2x?6,x?2.?可得f(x)?0的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．
而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是(??,?6][2,??)．
相关推荐：
loading