2018年名牌大学自主招生考试数学试题 适用高校：北京理工大学、同济大学等十三校
一、选择题
1．正四面体的4个而上分别写若l，2，3，4，将4个这样的均匀正四面体投掷于桌而上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是（ ）
（A）
1 8 （B）
9 64 （C）
1 16（D）
13 162．设a>0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，则a2b2c的最大值为（ ） （A）
1 36 （B）
1 24g33 （C）
1 23g34（D）
1 62x2y2 3．已知F1、F2分别为双曲线2?2?1的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点， 若
ab|PF2|2的最小值为8a， 则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
|PF1| （A）（l，+∞）
（D）（1，3]
4．如果关于x的方程2x+3ax+a?a＝0至少有一个根等于l的根，那么实数a的值（ ）
2
2
（B）（0，3] （C）（1，2]
（A）不存在
（D）有四个
（B）有一个 （C）有三个
5．5个顶点不共面的五边形叫空间五边形，空间五边形的5条边所在直线中，互相垂直的直线对至多有（ ）
（A）5对
（B）6对
（C）7对
（D）8对
6．已知定义在实数集R上的函数f（x），其值域也是R，井且时任意x、y∈R，都有f[xf（y）]=xy，则|f（2007）等于（ ）
（A）0
（B）1
（C）2007
2
（D）2007
02440107．若k是正位数，且C4010?C4010?3?C4010?32?L?C4010?32005能被2整除，则k的最
k大值为（ ）
- 1 -
（A）2004
（B）2005 （C）2006
（D）2008
uuuruuuruuuruuurruuuruuur?ABAC?uuuABAC18．已知非零向量AB与AC满足?uuu且uuur?uuur?gBC?0，rguuur?则?ABC为
|AB||AC|2?|AB||AC|?（ ）
（A）三边均为不相等的三角形 （C）等腰非等边三角形
（B）直角三角形
（D）等边三角形
?x2?2x?6log(6?y)?x,3?29．关于x、y、z的方程组??y?2y?6log3(6?z)?y,的实数解的组数有（ ） ?2z?2z?6log3(6?x)?z,??（A）有一组解 （B）有两组解 定
10．在欧非杯排球赛中，欧洲的参赛队伍比非洲的参赛队伍多9支，每两支球队赛一场，胜者得1分，败者得0分，若欧洲球队所得总分为非洲球队所得总分的9倍，则非洲球队的各支球队中得分的最大可能值是（ ）
（A）8
（D）11 二、解答题
11．在m（m≥2）个不同数的排列P1 P2 ?Pm中， 若1≤i - 2 - （C）有无穷多组解 （D）无法确 （B）9 （C）10 anan?1?，求证：2n 12．在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 已知sinA＋sinC=msinB（m∈R），且4（A?C）+4cosB+cos2B=1． （1）求证：b=4ac； （2）当m= 2 5，b=1时，求a、c的值； 4（3）若角B为最大内角（即B≥A且B≥C）．求实数m的取值范围． 13．已知a、b为实数，i为虚数单位．且关于z的二次方程4z+（2a+i）z?8b（9a+4）?2（a+2b）i=0至少有一个实根．求这个实根的最大值． 14．双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，点A（5，0）到双曲线C上动点P的距离的最小值为6． （1）求双曲线方程； 2 ruuuruuu（2）若过点B（1，0）的直线l交双曲线C上支一点M，下支一点N，且4MB=5BN， 求直线l的方程． 15．由抛物线x=y＋2与点（3，1）处的法线及x轴、y轴所围成一个平面图形． 2 - 3 - （1）求此平面图形的面积； （2）求该平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积． - 4 -
相关推荐：
loading