小学数学牛吃草问题知识点总结：
牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是
17世纪英国伟大的科
学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变， 不同 头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同， 求若干头牛吃这片草地可以吃多 少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不 断地变化。
小升初冲刺第2讲
牛吃草问题 基本公式：
1） 设定一头牛一天吃草量为“ 1”
2） 草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少 天数）*（吃的较多天数一吃的较少天数）；
3） 原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数； ' 4） 吃的天数=原有草量十（牛头数—草的生长速度）; 5） 牛头数=原有草量十吃的天数+草的生长速度。
例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供 可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？
解:假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）-（20-10） =5份
10X 20=200份……原草量+20天的生长量 原草量：200-20 X 5=100 或150-10
10头牛吃20天，
X 5=100份
15X 10=150份……原草量+10天的生长量
100
-（25-5 ） =5天
［自主训练］ 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可 供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？ 解:假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（180-150）-（20-10） =3份
9X 20=180份……原草量+20天的生长量
原草量：180-20 X 3=120份 或150-10
X 3=120份
15X 10=150份……原草量+10天的生长量
120 -（18-3） =8天
例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。
已知某块
草地上的草可供 20头牛吃 5 天，或可供 15头牛吃 6天。照此计算，可供多少头 牛吃 10 天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：(100-90)十(6-5) =10份
20X 5=100份……原草量-5天的减少量 10=150份
15X6=90份……原草量-6天的减少量
(150-10X 10)十10=5头
原草量：100+5X 10=150或90+6X
[ 自主训练 ] 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经 测算，牧场上的草可供 30头牛吃 8天，可供 25头牛吃9天，那么可供 21头牛 吃几天？ 解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：(240-225) - (9-8 ) =15 份
30X 8=240份……原草量-8天的减少量 原草量：240+8X 15=360份或220+9X 15=360份
25X 9=225份……原草量-9天的减少量 360 -( 21+15) =10天
例 3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已 知男孩每
分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级， 结果男孩用了 5 分钟到达楼上， 女 孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
男孩： 20X 5 =100(级) 自动扶梯的级数 -5 分钟减少的级数 女孩;15 X 6=90 (级)
自动扶梯的级数-6分钟减少的级数
每分钟减少的级数=(20 X 5-15 X 6) - (6-5)=10(级) 自动扶梯的级数 = 20X5+5X 10=150(级)
[自主训练 ] 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级阶梯，女孩每秒可走 2 级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问该扶梯共有多少级？
3 X 100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数 2 X 300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数
每秒新增的级数：(2X 300-3 X 100)-( 300-100) =1.5 (级) 自动扶梯级数=3 X 100-100 X 1.5=150 (级)
1. 有一片牧场，操每天都在匀速生长(每天的增长量相等)，如果放牧 24 头 牛，则 6 天吃完草，如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完草，设每头牛每天的吃草量 相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？ 假设 1 头 1 天吃 1 个单位 24*6=144 21*8=168 168-144=24
每天长的草可供 24/2=12 头牛吃 最多只能放 12 头牛 2，有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供 5 头牛吃 40 天，或 6 供头牛吃 30天。如果4头牛吃了 30天后，又增加 2头牛一起吃，这片草地还可 以再吃几天？
假设 1 头 1 天吃 1 个单位 5*40=200；6*30=180 200-180=20
每天长的草 :20/(40-30)=2 原有草： 200-2*40=120
4*30=120 ，30*2=60 60/4=15 天 3，假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供
1 1 0亿人生活 90年，或可供 90亿人生活 2 1 0年，为了人类不断繁衍，那么地球 最多可以养活多少亿人？
假设 1 亿人头 1 天吃 1 个单位 1 1 0*90=9900；90*21 0=18900 18900-9900=9000 9000/(210-90)=75
4，一游乐场在开门前有 1 00人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一 个入口处每分钟可以放入 1 0名游客，如果开放 2个入口处 20分钟就没人排队， 现开放 4 个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？ 2*20*10=400 400-100=300 300/20=15 100+15*4=160 160/(4*10)=4
( 1)因为草量 =原有草量 +新长出的草量，而且草量是均匀增长的。
所以“对应的牛头数X吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量，
即
为：吃的较多天数时的总草量 =草地原有草量 +草的生长速度 *较多天数时的时间。 同理“相应的牛头数X吃的较少天数”代表了第二次情况下的总草量， 即为：吃 的较少天数时的总草量 =草地原有草量 +草的生长速度 *较少天数时的时间。 两个
一做差， 式子中的“原有草量”就被减掉了， 等号的左边就是两次情况之下 总草量的差，右边等于草的生长速度 *两次情况下的时间差，所以直接把时间差 除到左边去，就得到了草的生长速度了。
（2）牛吃的草的总量包括两个方面，一是原来草地上的草，而是新增长出来的 草。所以“牛头数X吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草， 牛在这段时间把 草吃干净了， 所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。 当然草的总量减去新增 长出来的草的数量，就剩下原来草地上面草的数量了。
牛吃草问题概念及公式
牛吃草 问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家 牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不
同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地 可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量 随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是
1）
设定一头牛一天吃草量为 “1”
1） 草的生长速度=（对应的牛头数 X吃的较多天数一相应的牛头数 X吃 的较少天数） 十（吃的较多天数一吃的较少天数）；
2） 原有草量=牛头数 X吃的天数-草的生长速度 4）牛头数=原有草量 斗吃的天数+草的生长速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点 是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽
然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正 是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有 的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这 片地的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的 数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：
1. （牛的头数X吃草较多的天数-牛头数X吃草较少的天数）*（吃的较多的 天数 -吃的较少的天数 ）=草地每天新长草的量。
2. 牛的头数X吃草天数-每天新长量X吃草天数=草地原有的草。 解多块草地的方法
多块草地的 “牛吃草 ”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样 可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为
“1相”对简
X吃的天数；'
3）吃的天数二原有草量 十（牛头数-草的生长速度）；
单些。
“牛吃草 ”问题分析
华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐
【华图名师姚璐例 1】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它可供 25 头牛吃多少天？
A.3 B.4 C.5 D.6
【华图名师姚璐答案】 C
【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供 X 头牛吃一天，这 片草场可供 25 头牛吃 Y 天
根据核心公式 代入
(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5( 天)
璐例 2】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10天，则它 可供多少头牛吃 4 天？
A.20 B.25 C.30 D.35
【华图名师姚璐答案】 C 【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供 X 头牛吃一天， 根据核心公式代入
(20 X10-15 X 10)=5 10X20-5 X20=100 100^4+5=30(头)
【华图名师姚璐例 3】如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草， 54 天后可以 吃尽， 17头牛吃 28 公亩牧场的草， 84天可以吃尽，那么要在 24天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50 B.46 C.38 D.35 【华图名师姚璐答案】 D
【华图名师姚璐解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供 X 头牛吃 1 天，每公亩草场原有牧草量为 Y ，
24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要 Z 头牛 根据核心公式： ，代入
，因此 ，选择 D
【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的 草量不再是常量。
下面我们来看一下上述 “牛吃草问题 ”解题方法，在真题中的应用。 【华图名师姚璐例 4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里 灌水，一段时间后，用 2 台抽水机排水，则用 40 分钟能排完；如果用 4 台 同样的抽水机排水，则用 16分钟排完。问如果计划用 10分钟将水排完， 需要多少台抽水机？【广东 2006 上】
A.5 台 B.6 台 C.7 台 D.8 台
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