第14次课 因式分解专题

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(【昨天很残酷，今天很残酷，明天很美好，不要倒在今天晚上】

因式分解专题

一、 考点、热点回顾

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

因式分解的十二种方法： 1、 提公因法 2、 公式法 3、 分组分解法 4、 十字相乘法 5、 配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 6、 拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 7、 换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 8、 求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,……x n则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )……(x-xn ) 9、 图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1 ,x 2,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )……(x-xn ) 10、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 11、特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

2

例、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

二、典型例题

1．公式法

22

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

222

(2)a±2ab+b=(a±b)； (3)a+b=(a+b)(a-ab+b)； (4)a-b=(a-b)(a+ab+b)． (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b) ， 其中n为正整数； (8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)， 其中n为偶数； (9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)， 其中n为奇数． 例1 分解因式： (1)-2x

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab (4)a-ab+ab-b

333

例2 分解因式：a+b+c-3abc

7522571514132

例3 分解因式：a-ab+ab-bx+x+x+…+x+x+1．

2．拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项

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2

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52

25

7

5n-1nn

n

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y-2xy (2)x-8y-z-6xyz

n-1n+4333

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