图10-17
(1)求证：PA⊥CE；
(2)求四棱锥P-ABCD的表面积．
解] (1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，则EF∥AD∥BC，即EF，BC共面． ∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，又BC⊥AB且PB∩AB＝B， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.3分 ∵PB＝AB，∴BF⊥PA，又BC∩BF＝B， ∴PA⊥平面EFBC，∴PA⊥CE.6分 (2)设四棱锥P-ABCD的表面积为S，
∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC＝B， ∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，即△PCD为直角三角形，8分 由(1)知BC⊥平面PAB，而AD∥BC，∴AD⊥平面PAB， 故AD⊥PA，即△PAD也为直角三角形．
S?ABCD＝2×2＝4，
S△PBC＝S△PAB＝S△PDA＝×2×2＝2， S△PCD＝×2×22＋22＝22，10分
∴S表＝S?ABCD＋S△PBC＋S△PDA＋S△PAB＋S△PCD ＝10＋22.12分
10．(2016·湖北七市模拟)如图10-18，一个侧棱长为l的直三棱柱ABC-A1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)．若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.
12
12
图10-18
(1)求证：平面DEFG∥平面ABB1A1；
(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高．
解] (1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB.又DE?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB1A1.6分
(2)当直三棱柱ABC-A1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABC-A1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的1
高为h，△ABC的面积为S，则由已知条件可知，△CDE∽△ABC，且S△CDE＝S，所以S四边形ABED＝
43
S.9分 4
33
由于两种状态下液体体积相等，所以V液体＝Sh＝S四边形ABEDl＝Sl，即h＝l.
443
因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l.12分
4
B组 名校冲刺]
一、选择题
1．(2016·沈阳一模)如图10-19，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )
图10-19
A．三棱台 C．四棱柱
B．三棱柱 D．四棱锥
B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．] 2．(2016·重庆二模)某几何体的三视图如图10-20所示，则该几何体的体积为( )
图10-20
2A. 35C. 3
4B． 37D. 3
B 根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2，高为1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰1114
长分别为1,2，高为1)，因此该几何体的体积为×2×1×1＋××2×1×1＝，选B.]
2323
3．(2016·唐山二模)某几何体的三视图如图10-21所示，则该几何体的体积为( )
图10-21
A．6π＋4 C.5π 2
B．π＋4 D．2π
D 由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为122
2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为π×1×1＋π×1×2＝2π，故选D.]
2
4．(2016·江西上饶三模)从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球
O相切于A，B，C三点，若OP＝3，则球的体积为( )
A.C.π 34π 3
2πB．
3D.8π 3
C 设OP交平面ABC于O′，
由题得△ABC和△PAB为正三角形， 所以O′A＝
33
AB＝AP. 33
因为AO′⊥PO，OA⊥PA， 所以＝OPAPAO′3AO′3，＝，＝，
OAAO′AB3AP3
OP·O′A3
＝3×＝1， AP3
所以OA＝
即球的半径为1，
443
所以其体积为π×1＝π.选C.]
33二、填空题
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