管致中《信号与线性系统》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(连续时间系统的复频域分析)【圣才

圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第5章　连续时间系统的复频域分析

5.1　复习笔记

一、拉普拉斯变换1．定义

（1）双边拉普拉斯变换

?F(s)??f(t)e?stdt?????1??j?stF(s)eds?f(t)????j?2?j?（2）单边拉普拉斯变换

?F(s)??f(t)e?stdt?0??1??j?stF(s)eds]?(t)?f(t)?[???j?2?j?2．拉氏变换的物理意义

拉普拉斯变换把函数分解成许多形式为est的指数分量之和。每一对正、负?的指数分量决定一项变幅度的“正弦振荡”，其幅度为

F?s?d??e?t。

二、拉普拉斯变换的收敛区因为F(s)?????f(t)e?stdt?????f(t)e??te?j?tdt，所以欲使此积分存在，则

f(t)e??t必须满足绝对可积条件。在s平面(或称复平面)上使f(t)e??t满足绝对可积条件

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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平的?的取值范围称为

台f(t)或F(s)的收敛区。

三、常用函数的拉普拉斯变换

表5-1常见函数的拉普拉斯变换

编号1234567

时域函数

象函数1

?(t)e?t?(t)?(t)tn?(t)sin(?t)?(t)cos(?t)?(t)1s??1sn!sn?1?s2??2ss2??2e?atsin(?t)?(t)e?atcos(?t)?(t)?(s?a)2??2(s?a)(s?a)2??211?e?sTF0(s)1?e?sT8

9

??(t?nT)n?0??10

?f(t?nT)0n?0四、拉普拉斯反变换1．部分分式法

该方法要求F(s)为实系数有理真分式，若F(s)为假分式，将其化为多项式加真分式的形式。对于多项式部分，对应的逆变换是冲激函数?(t)及其各阶导数之和。

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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台对于真分式，有

B(s)amsm?am?1sm?1?....?a1s?a0F(s)??A(s)sn?bn?1sn?1?...?b1s?b0式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根

（1）只有单极点

pi(i?1,2,...,n)称为F(s)的极点。

KF(s)可展开成F(s)??i，则f(t)?i?1s?pin?Keii?1npit?(t)（2）存在多重极点

则如果F(s)有高阶重极点，设s=p1为r重极点，其余极点为相异单阶极点，则可将

F(s)展开为

nK1,r?1KiK1rK11B(s)F(s)????....???A(s)(s?p1)r(s?p1)r?1(s?p1)i?r?1s?pidr?i[(s?pi)rF(s)]1其中K1i??(r?i)!dsr?i根据拉氏变换对L?1[s?pi,i?r,r?1,...,111np1t]?te?(t)及复频移性质，可求解出n?1(s?p1)n!nK1ii?1pitf(t)?[?te??Kiepit]?(t)i?r(i?1)!i?m?11（3）存在共轭复数极点

若A(s)?(s???j?)(s???j?)，分解F(s)有，F(s)?其中K１?(s???j?)F(s)K1K2?s???j?s???j?s???j??|K1|ej??A?jB,。

K2?K1??|K1|e?j??A?jB拉氏逆变换，有

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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台f(t)?K1e(??j?)t?K2e(??j?)t?(A?jB)e(??j?)t?(A?jB)e(??j?)t?e?t[A(ej?t?e?j?t)?jB(ej?t?e?j?t)]?2e?t[Acos?t?Bsin?t]?(t)2．围线积分法（留数法）

?mst?Res[F(s)e在以右的极点AB]t?0?j?1??j??j?1stf(t)?F(s)eds??n2?j???j??Res[F(s)est在以左的极点AB]t?0?i??i?1图5-1

（1）若sk为单极点，则留数为：Resk?[(s?sk)F(s)est]s?sk；

1?dp?1pst?（2）若sk为p重极点，则留数为：Resk?(s?s)F(s)ek?p?1(p?1)!??ds?s?sk五、拉普拉斯变换的基本性质

令f1(t)?F1(s) , Re[s]??1 , f2(t)?F2(s) , Re[s]??2 , f(t)?F(s) , Re[s]??0。1．线性

K1f1(t)?K2f2(t)?K1F1(s)?K2F2(s) ， Re[s]>max(?1,?2)2．尺度变换

f(at)?1sF(),a?0,Re[s]>a?0aa 4 / 62

圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台3．时间平移

f(t?t0)u(t?t0)?e?st0F(s) ， t0?0 , Re[s]>?04．频率平移

f(t)e?at?F(s?a) , Re[s]>?0?Re[a]5．时域微分

df(t)?sF(s)?f(0) ，收敛域至少为Re[s]>?0dt6．时域积分

?t??F(s)f(?1)(0)f(?)d??? ，收敛域至少为Re[s]>max[?0,0]ss7．复频域微分与积分

?tf(t)?dF(s) ，Re[s]>?0ds?f(t)??F(s)ds , Re[s]>?0st8．设

式中a为参变量，则

及

9．初值定理 limf(t)?f(0?)?limsF(s) , F(s)为真分式t?0?s?? 5 / 62