中考 2020
专题20 勾股定理
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 直角三角形与勾股定理 直角三角形三边的性质： 1、 直角三角形的两个锐角互余。
2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。 3、 直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。
勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2?b2?c2
中考 2020
变式： 1）a2=c2- b2 2）b2=c2- a2
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
1方法一：4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD，4?ab?(b?a)2?c2，化简可证．
2DHEFbAcGaBC
方法二：
bacabcbccbaa
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S?4?ab?c2?2ab?c2
2大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2 所以a2?b2?c2
111方法三：S梯形?(a?b)?(a?b)，S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2，化简得证a2?b2?c2
222中考 2020
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【考查题型汇总】
考查题型一 利用直角三角形的性质解题
1．（2018·湖南中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E．求证：FC=2BF．
【答案】见解析 【详解】 证明：连接AF，
∵EF为AB的垂直平分线， ∴AF=BF，
又AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=∠BAF=30°， ∴∠FAC=90°， ∴AF=FC， ∴FC=2BF．
2.（2013·江苏中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长(结果保留根号)．
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【答案】27?5?3；【解析】
21 7在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC?3，∠ADC＝60°， 因为sin?ADC?AC33，即，所以AD＝2． ?ADAD2AD2?AC2?1．
由勾股定理得：DC?所以BD＝2AD＝4，BC＝BD＋DC＝5．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC?3，BC＝5， 由勾股定理得：AB?BC2?AC2?27，
所以Rt△ABC的周长为AB?BC?AC?27?5?3．
3．（2019·江苏中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．
【答案】3
【详解】如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点， ∴∠BAD=60°，AD⊥BC， ∴∠B=90°﹣60°=30°，
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∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°， 设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x， 在Rt△ABD中，AB=2AD=4x， ∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x， ∴EB：EA=3x：x=3．
考查题型二 含30°角的直角三角形解题方法
1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC的长为（ ）
A．4 【答案】C 【详解】
B．8 C．12 D．16
∵AB=AC，∠C=30°， ∴∠B=∠C=30°， ∴∠BAC=120°， ∵AB⊥AD，AD=4， ∴∠BAD=90°，BD=2AD=8， ∴∠DAC=120°-90°=30°， ∴∠DAC =∠C=30°， ∴AD=CD=4， ∴CB=DB+CD=12． 故选C.
2．（2019·丹东市第十七中学中考模拟）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
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