角平分线的几种辅助线作法与三种模型

一、角平分线的三种“模型”

模型一：角平分线+平行线→等腰三角形

如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥OB，交OA于点E，则EO=EP. A A A E P C E C D F E P

O B B C O F B 图1 图2 图3

例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形

如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.

例2 如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.

模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折

相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.

D A E

A P / B C D B/ B C 图5 图6

例3

如图6，点P是△ABC的外角∠CAD的平分线上的一点.求证：

PB+PC>AB+AC.

二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

1、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

A121求证：BE?(AC?AB)

2 2、在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．

FA

EBDCF

E D

C

B

图

E二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的PNA垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BCB于D，AB＋BC=2BD。 CD求证：∠BAP＋∠BCP=180°。

A三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边

12的垂线段

1、如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2 FCB

E

GP

F

D 2、2、 如图2，AB∥CD，E为AD上一点，

E 且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．

求证：AE=ED

A

H 3、（四（2））

B G C A 图2

四、以角的平分线为对称轴构造对称图形

例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠

E C=2∠B．

求证：AB=AC+CD．

C B D

图1 2、例题：如图2，BC＞AB，BD平分∠ABC，

且∠A+∠C=1800，

求证：AD=DC． D A

C B E

图2

五、利用角的平分线构造等腰三角形

C 1、 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分

∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．

求证：CD=

1BE． 2A E D

B