2.3.1双曲线及其标准方程

2. 3.1双曲线及其标准方程

课前预习学案

一．

二．

预习目标：了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。

预习内容：平面内与两定点 F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨

迹叫做-------。两定点F1 , F2 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离|F1F2|叫做双曲线的________ ．

三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容 课内探究学案

一.学习目标：掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。学习重难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点 二.学习过程：

问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图 2-23，定点F1 , F2 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|MF1| - |MF2| 是常数，这样就画出一条曲线； 由 |MF2| - |MF1| 是同一常数，可以画出另一支．

新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点F1 , F2 叫做双曲线的_________ ， 两焦点间的距离|F1F2|叫做双曲线的________ ． 反思：设常数为2a ，为什么2a < |F1F2| ？ 2a = |F1F2|时，轨迹是__________ ； 2a > |F1F2| 时，轨迹____________ ．

试一试：点 A( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC| - |BC| = 1 ，则点C 的轨迹是__________ ．

22222新知 2：双曲线的标准方程：x?y?1,(a> 0,b> 0,c?a?b )（焦点在x 轴）其焦点坐标为 F1 (-

22abc ,0) ， F2 (c ,0) ．

思考：若焦点在 y 轴，标准方程又如何？

三.反思总结：1.双曲线定义中需要注意的条件：2c?2a

2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：x2、y2的系数符号相反，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。

3.求双曲线方程关健是确定a2、b2，常见的方法是待定系数法或直接由定义确定。

四.当堂检测1．已知点F1(?4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之

差为6，则曲线方程为（ ）

x2y2??1 A．97y2x2??1(y?0) B．97x2y2y2x2??1或??1 C．9797x2y2??1(x?0) D．972．“ab<0”是“方程ax?by?c表示双曲线”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

22答案：1.D 2.A

课后练习与提高

1．动圆与两圆x?y?1和x?y?8x?12?0都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A．抛物线 B．圆

C．双曲线的一支 D．椭圆

2222x2y22．P为双曲线2?2?1上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆

abx2?y2?a2的位置关系是（ ）

A．内切

B．内切或外切 C．外切

D．相离或相交

3．双曲线x?y?1的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ） A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞） C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

224．双曲线2x?y?m的一个焦点是(0,3)，则m的值是_________。

22x2y25．过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______

ab6．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是F1(1,0)，求它的另一个焦点F2的轨迹方程。

2b2答案：1.C 2.B 3.B 4. -2 5. . 6.提示：易知|AF1|?|BF1|?5

a由双曲线定义知||AF1|?|AF2||?||BF1|?|BF2|| 即|5?|AF2||?|5?|BF2||

①5?|AF2|?5?|BF2| 即|AF2|?|BF2|

此时点F2的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0) ②5?|AF2|??(5?|BF2|) 即|AF2|?|BF2|?10

此时点F2的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为

(x?1)2(y?4)2??1 （y≠0） 2516

2.3.1双曲线及其标准方程

【教学目标】掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。 教学重点：双曲线的定义及其标准方程． 教学难点：双曲线标准方程的推导． 【教学过程】

预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况

情景导入、展示目标：(一)复习提问，平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a 时，形成的轨迹？

(1)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆． (2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段. (3)常数2a?|F1F2|时,无轨迹. (二)双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？

合作探究、精讲点拨：观察如图 2-23，定点F1 , F2 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|MF1| - |MF2| 是常数，这样就画出一条曲线；

由 |MF2| - |MF1| 是同一常数，可以画出另一支．

双曲线的定义：平面内与两定点 F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导． 标准方程的推导： (1)建系设点

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系．

设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，