2020年高考数学（理）总复习：立体几何中的向量方法
题型一 利用向量证明平行与垂直 【题型要点】
向量证明平行与垂直的4步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；
(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)根据运动结果解释相关问题．
【例1】如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明：
(1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD.
【证明】 方法一 (1)由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M?,0,0?，
?1?2??O?,,?.
?111??222?11?→→?OM＝?0,?,??，BA＝(－1,0,0)，
?22?→→→→∴OM·BA＝0, ∴OM⊥BA. ∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，
→
∴AB⊥平面BCF，∴BA是平面BCF的一个法向量， 且OM?平面BCF，∴OM∥平面BCF.
1
(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为 n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
?→→→?1→
∵DF＝(1，－1,1)，DM＝?,?1,0?，DC＝(1,0,0)，CF＝(0，－1,1)，
?2?x－y＋z＝0，→??DF＝0，?111?n1·
由?得?1
→x－y＝0，??DM＝0，?n1·?211
令x1＝1，则n1＝?1,,??1?21??.同理可得n2＝(0,1,1)． 2?∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.
→→→→1→→1→方法二 (1)OM＝OF＋FB＋BM＝DF－BF＋BA
221→→1→1→1→→1→
＝(DB＋BF)－BF＋BA＝－BD－BF＋BA 222221→→1→1→＝－(BC＋BA)－BF＋BA
2221→1→＝－BC－BF.
22
→→→
∴向量OM与向量BF，BC共面， 又OM?平面BCF，∴OM∥平面BCF. (2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直， →→→→→∵CD＝BA，FC＝BC－BF，
→→?1?1??→∴OM·CD＝??BC?BF?BA＝0，
?22?→→?1?1??→→OM·FC＝??BC?BF?·(BC－BF)
?22?1→1→
＝－BC2＋BF2＝0.
22
2
∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，CD，FC?平面EFCD，∴OM⊥平面EFCD. 又OM?平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD. 题组训练一 利用向量证明平行与垂直
如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC.
【证明】 (1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
∵点E，F分别是PC，PD的中点，
∴E ?1??11??,1,?，F ?0,1,?，
2??22??1→?→→?1→
EF＝??,0,0?，AB＝(1,0,0)．∵EF＝－AB，
2?2?→→
∴EF∥AB，即EF∥AB，
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB.
→→→→→
(2)由(1)可知，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，→→→→→→→→∵AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.
又AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD， ∴DC⊥平面PAD.
∵DC?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC. 题型二 利用空间向量求空间角 【题型要点】
1．利用向量法求直线与平面所成角时易混淆直线与平面所成角与直线方向向量和平面
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