考点：平面向量数量积 解析：sin∠A6A7O＝
uuuuuruuuuurA6O6642，∴． ?A6A7?A7A8?1?1??A7O777??log2x?a, 0?x?414．设函数f(x)??，若存在实数m，使得关于x的方程f(x)?m
??f(8?x), 4?x?8有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
答案：(??，1) 考点：函数与方程
?a?log2x, 0?x?4log2x?a?0，解析：当a?2时，此时f(x)??，此时函数f(x)
a?log(8?x), 4?x?8?2在(0，4)单调递减，在(4，8)单调递增，方程f(x)?m最多2个不相等的实根，舍； 当a＜2时，函数f(x)图像如下所示：
从左到右方程f(x)?m4个不相等的实根，依次为x1，x2，x3，x4，即x1＜x2＜
x3＜x4，
由图可知a?log2x1?log2x2?a，故x1x2?4，且x3?8?x2，x4?8?x1，
a42a4a 从而x?x?x?x?2(x?2)?16(x1?)?128，
x1x121222324214aa 令t?x1?，显然t＞4，
x1 x1?x2?x3?x4?2t?16t?128?4t＝4＞4，解得a＜1．
综上所述，实数a的取值范围是(??，1)．
5
a22222a?1，要使该式在t＞4时有最小值，则对称轴
a二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字．．．．．．．
说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
rr?在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(cos?，sin?)，b＝(cos(?＋)，sin(?＋
4??))，其中0＜?＜． 42rrr（1）求(b?a)?a的值；
rrrr（2）若c＝(1，1)，且(b?c)∥a，求?的值．
解：（1）因为向量a??cos?，sin??，b?cos??π，sin??π44???????，
所以?b?a??a?a?b?a2 …2分
?cos?cos??π?sin?sin??π??cos2??sin2?? …4分
44?cos?π?1?2?1． ……6分 24?????（2）因为c??1，1?，所以b?c?cos??π?1，sin??π?1．
44 因为?b?c?∥a，
???????? 于是sin??cos??sin???π?cos??cos???π?sin?，
44所以cos??π?1sin??sin??π?1cos??0．…9分
44?????? 从而2sin??π?sinπ，即sin??π?1． ………………12分 4442 因为0???π，所以?π???π?π． 2444于是??π?π，即??5π． …14分 4612
16．（本题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证：
（1）PQ∥平面ABC； （2）PQ⊥平面ABB1A1．
????6
解：（1）取AB的中点D，连结PD，CD．
在△ABB1中，因为P，AB中点， D分别为AB1，所以PD∥BB1，且PD?1BB1． 直三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1∥BB1，CC1?BB1．因
2为Q为棱CC1的中点，所以CQ∥BB1，且CQ?1BB1． …3分
2于是PD∥CQ，PD?CQ．
所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ∥CD． ……5分又因为
CD?平面ABC，PQ?平面ABC，所以PQ∥平面ABC． …7分
（2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1⊥平面ABC．又CD?平面ABC，所以BB1⊥CD．因
为CA?CB，D为AB中点，所以CD⊥AB． ……10分
由（1）知CD∥PQ，所以BB1⊥PQ，AB⊥PQ． ……12分 又因为ABIBB1?B，AB?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，
所以PQ⊥平面ABB1A1． ……14分 17．（本题满分14分）
22xy如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x﹣3)2＋y2＝1，椭圆E：2?2?1(a
ab＞b＞0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N．当AN＝
12AM时，求直线l的方程． 77
2解：（1）记椭圆E的焦距为2c（c?0）．因为右顶点A?a，0?在圆C上，右准线x?a与
c??a?3?2?02?1，?a?2，2?圆C：?x?3??y2?1相切．所以?2 解得 ?
a?3?1，c?1．??c?2y2x 于是b?a?c?3，所以椭圆方程为：??1． ……4分 43222yN?，M?xM，yM?， （2）法1：设N?xN，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y?k?x?2?．
?y?k?x?2?，?由方程组 ?2y2消去y得，4k2?3x2?16k2x?16k2?12?0．
x??1?3?4??2216k?128k所以xN?2?，解得xN?2?6． ……6分 24k?34k?3??y?k?x?2?，由方程组? 消去y得，?k2?1?x2??4k2?6?x?4k2?8?0， 22???x?3??y?1，224k+82k所以xM?2?2，解得xM?2+4． ……8分 k?1k?1因为AN?12AM，所以2?xN?12?xM?2?． ……10分 77即
12?12?2，解得 k??1， ……12分
4k2?371?k2 所以直线l的方程为x?y?2?0或 x?y?2?0． ……14分法2：设N?xN，yN?，M?xM，yM?，当直线l与x轴重合时，不符题意．
?x?ty?2，?设直线l的方程为：x?ty?2?t?0?． 由方程组?x2y2 消去x得，
??1?3?4?3t2?4?x2?12ty?0，所以yN??212t ． ……6分
3t?48
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