20．（本题满分16分）
在等比数列?an?中，已知a1?1，a4?1．设数列?bn?的前n项和为Sn，且b1??1，81an?bn??Sn?1(n≥2，n?N?)．
2（1）求数列?an?的通项公式； （2）证明：数列??bn??是等差数列； a?n??（3）是否存在等差数列?cn?，使得对任意n?N，都有Sn?cn?an?若存在，求出所有符合题意的等差数列?cn?；若不存在，请说明理由．
解：（1）设等比数列?an?的公比为q，因为a1?1，a4?1，所以q3?1，解得q?1．
882 所以数列?an?的通项公式为：an?12（2）由（1）得，当n≥所以，12???． ……3分
2，n?N时，?1??b??1S， ①
22n?1n?1nn?1???bnn?1??1Sn， ②
2②－① 得，bn?1?1bn?122所以，
??， ……………5分
n????12nbn?1?bn12n?1?1，即
bn?1bnn?N?． ??1，n≥2，an?1anb2b1??0???1??1， a2a1因为b1??1，由① 得，b2?0，所以所以
bn?1bn??1，n?N?． an?1an?b?所以数列?n?是以?1为首项，1为公差的等差数列． ……8分
?an?（3）由（2）得 =n－2，所以bn=
bnann－2
2
n-11n－1n，Sn=－2(an+1+bn+1)=－2(n+n)=－n-1.
222
假设存在等差数列{cn}，其通项cn=dn+c， 使得对任意n?N?，都有Sn≤cn≤an，
n1
即对任意n?N?，都有－n-1≤dn+c≤n-1. ③ ……10分
22
13
首先证明满足③的d=0. 若不然，d≠0，则d＞0，或d＜0. 1－c1
(i) 若d＞0，则当n＞，n?N?时，cn=dn+c＞1≥n-1= an，
d2
这与cn≤an矛盾.
1+c (ii) 若d?0，则当n＞－，n?N?时，cn=dn+c＜－1.
d而Sn+1－Sn=－
n+1nn－1
2
n+2
n-1
=
2
n≥0，S1= S2＜S3＜……,所以Sn≥S1=－1.
故cn=dn+c＜－1≤Sn，这与Sn≤cn矛盾. 所以d=0. ………12分 其次证明：当x≥7时，f(x)=(x－1)ln2－2lnx＞0.
11
因为f ′(x)=ln2－＞ln2－＞0，所以f(x)在[7，+∞)上单调递增，
x764
所以，当x≥7时，f(x)≥f(7) =6ln2－2ln7= ln＞0.
49
所以当n≥7，n?N?时，2＞n. ……14分 再次证明c=0.
1n1
(iii)若c＜0时，则当n≥7，n＞－，n∈N*，Sn=－n-1＞－＞c，这与③矛盾.
c2n(iv)若c＞0时，同(i)可得矛盾.所以c=0. n≤0，a?1当cn?0时，因为Sn?1?nn?122n-1
2
??n?1?0，
所以对任意n?N?，都有Sn≤cn≤an．所以cn?0，n?N?．
综上，存在唯一的等差数列{ cn }，其通项公式为cn?0，n?N?满足题设．…16分
江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试
数学附加题
21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换
?0 1??0 2?x22?1已知矩阵A＝?的逆矩阵A??．若曲线C1：?y?1在矩阵A对应的??4?a 0??b 0?变换作用下得到另一曲线C2，求曲线C2的方程．
?01??02??10??b0??10??解：因为AA?1?E，所以?，即??b0??01??02a???01?． a0???????????a?1，?0?b?1，?2所以A??1 所以?解得???2a?1，??b?1.?214
1??． ……4分 0???设P?x?，y??为曲线C1任一点，则x?y?2?1，
42又设P?x?，y??在矩阵A变换作用得到点Q?x，y?， ?0 则?1??21?x??y???x??y??x，?x??2y，???x???????，即?x?????，所以?即? ?x??0??y???y??y，y?x.???y?????2??2?2?y?2?1x 代入，得y2?x2?1，
4 所以曲线C2的方程为x2?y2?1． ……10分
B．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线C的方程为
??r (r＞0)，直线l的方程为
??cos(??)?2．设直线l与曲线C相交于A，B两点，且AB＝27，求r的值．
4解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，
于是曲线C：??r(r?0)的直角坐标方程为x2?y2?r2，表示以原点为圆心，半径为r的圆． ……3分
由直线l的方程?cos????2，化简得?cos?cos???sin?sin??2，
444 所以直线l的直角坐标方程方程为x?y?2?0． …………6分 记圆心到直线l的距离为d，则d? 又r?d?AB222??22?2，
??，即r22?2?7?9，所以r?3． ……10分
C．选修4—5：不等式选讲
xyzx2y2z2???2???2． 已知实数x，y，z满足，证明：1?x21?y21?z21?x21?y21?z2x2y2z2???2， 解：因为
1?x21?y21?z2111x2y2z2???1??1??1??1． ……5分 所以2222221?x1?y1?z1?x1?y1?z由柯西不等式得，
15
x2y2z2 ??1?x21?y21?z2xyz 所以??1?x21?y21?z2???111xyz??≥??1?x21?y21?z21?x21?y21?z2???．
2??2≤2 ．
所以
xyz??≤2． ……10分 1?x21?y21?z2
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的概率都是
1，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调2剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．
12?，B店有i人，解：（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件Ai?i?0，，12?，发生调剂现象的概率为P． 休假记为事件Bi?i?0，， 则P?A0??P?B0??C1202， ???142P?A1??P?B1??C12122222， ???12P?A??P?B??C?1??1．
2422所以P?P?A0B2??P?A2B0??1?1?1?1?1．
44448答：发生调剂现象的概率为1． ……4分
8（2）依题意，X的所有可能取值为0，，12． 则P?X?0??P?A2B2??1?1?1，
4416P?X?1??P?A1B2??P?A2B1??1?1?1?1?1，
42244 P?X?2??1?P?X?0??P?X?1??1?1?1?11． ……8分
16416所以X的分布表
X P 0 1 161 1 416
2 11 16为：
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