生活的色彩就是学习
课时达标检测（五十三） 二项式定理
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 二项式的通项公式及应用
2
x＋2?10的展开式中的常数项是( ) 1．二项式?x??A．180 C．45
B．90 D．360
2510－k?2?kkk
x＋2?10的展开式的通项为Tk＋1＝Ck2＝2C10x5－k，令解析：选A ?·(x)10x???x?252
5－k＝0，得k＝2，故常数项为22C10＝180. 2
a?53?x－2．已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝( )
2x??A.3 C．6 解析：选D
Tr＋1＝Cr5(
B．－3 D．－6
－arr
x)5－r·＝Cr5(－a)x
??
???x?
5－2r5－2r31
，由＝，解得r＝1.由C5(－222
a)＝30，得a＝－6.故选D.
3．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( ) A．30 C．15
B．20 D．10
r63
解析：选C (1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr6x，则x(1＋x)的展开式中含x33
的项为C26x＝15x，所以系数为15.
4．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为( ) A．－210 C．30
B．210 D．－30
210129929
解析：选A (x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C010(x)－C10(x)(x－1)＋…－C10x(x－1)10398107
＋C1010(x－1)，所以含x项的系数为：－C10C9＋C10(－C10)＝－210，故选A.
5．(2017·山东高考)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.
rr222
解析：(1＋3x)n的展开式的通项Tr＋1＝Crn3x，∴含有x项的系数为Cn3＝54，∴n＝4.
答案：4
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6.ax＋
??a3?62
的展开式的第二项的系数为－3，则?－2 xdx的值为________． ?6?
解析：该二项展开式的第二项的系数为
a－2x2dx＝
31535
C6a，由C1a＝－3，解得a＝－1，因此666
??
?
??－2
x－1x2dx＝
1871|－－2＝－＋＝. 3333
3
7
答案：
3
7．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．
333333
解析：展开式中含x3项的系数为C5(－1)3＋C36(－1)＋C7(－1)＋C8(－1)＝－121.
答案：－121
8．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
27277解析：x2y7＝x·(xy7)，其系数为C7(x2y6)，其系数为－C68，xy＝y·8，∴xy的系数为C8
－C68＝8－28＝－20.
答案：－20
对点练(二) 二项式系数的性质及应用
1．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为( )
A．1或3 C．1
B．－3 D．1或－3
解析：选D 令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.
2．若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．－2 C．125
B．－3 D．－131
7解析：选C 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2，令x＝0，则a0＝1.又a8＝C77(－2)
＝－128，所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.
3．(2018·河北省“五校联盟”质量检测)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )
A．－960 C．1 120
B．960 D．1 680
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解析：选C 根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，
444
且T5＝C48(－2)x＝1 120x，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.
?2
4．若x－
?
( )
A．－10 C．－45
1?n3
的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是
14x?
B．10 D．45
r5rr
解析：选D 因为展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr(x2)n－r·(－1)rx－＝Crn·n(－1)x2n－，22C235r5rn所以4＝，∴n＝10，∴Tr＋1＝Cr(－1)r·x20－，令20－＝0，∴r＝8.∴常数项为T910·Cn1422
8＝C810(－1)＝45.
?9x－1?n
5．在二项式?3?的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，则展开式中x
?3x?
的系数为________．
解析：因为二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，所以2n－1＝256，
?9x－1?9?1?rr9
r9－r－解得n＝9.所以二项式??3?＝C99－3?的展开式中，通项为Tr＋1＝C9(9x)·
?3x??3x?
r
3?－1?rx9－4r.令9－4r＝1，解得r＝6，所以展开式中x的系数为C6?－1?6＝84. ·×9×9
?3??3?33
答案：84
1
x－?n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的6．在二项式??x?系数是________．
11
x－?n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴n＝8.∵?x－?解析：∵在二项式??x??x?
8
8－2r
的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCr，令8－2r＝2，则r＝3，∴展开式中含x2项的系数8x
3是－C8＝－56.
答案：－56
7．在(x＋y)n的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于____________． 解析：根据题意，分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n＝12；②若T7
与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，K12的学习需要努力专业专心坚持
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n＝13.所以n的值可能等于11,12,13.
答案：11,12,13
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解：令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C07＝1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
－1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
2－1＋37
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
2
(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.
2．已知(1＋mx)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和； (3)求(1＋mx)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
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rr22
解：(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8.Tr＋1＝Crnmx，含x项的系数为C8m＝112，2
解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2,8.
24688－1(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C0＝128. 8＋C8＋C8＋C8＋C8＝2
(3)(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8，
4422所以含x2的系数为C82－C82＝1 008.
3．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11. (1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
1解：(1)由已知得C1m＋2Cn＝11，∴m＋2n＝11.
x的系数为351＋. 16
2
22
C2m＋2Cn＝
m?m－1?m2－m?11－m??212
＋2n(n－1)＝＋(11－m)?＝?m－4??－1?22?2?
∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3. (2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3. ∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.
设f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59， 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
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