数学分析/145922443.doc
特别地 ,
ⅲ> 令
即
, 有
=
,
.
=
,
,
ⅳ> 令
, 可得
.
ⅴ> 三、
函数和
函数的关系:
函数和 ,
,
函数之间有关系式
.
以下只就 和 取正整数值的情况给予证明. 和二重无穷积分的换序.
证 反复应用 函数的递推公式, 有
而
和 取正实数值时, 证明用到
函数的变形
,
.
特别地,
.
余元公式——
且 或 时, 由于
, 就有
函数与三角函数的关系： 对
.
，有
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该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц , 微积分学教程 Vol 2 第3分册, 利用余元公式, 只要编制出时 的函数表, 再利用三角函数表, 即可对
值.
四、利用Euler积分计算积分:
例3 利用余元公式计算
解
.
, 查表求得
的近似
,
.
例4 求积分
解 令
, 有
.
I
.
例5 计算积分 .
解
,
该积分收敛 . ( 亦可不进行判敛 ,把该积分化为
函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛 . ) I
.
例6
其中 V :
, 求积分
, .
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解
.
而
因此 , 五、作业
.
.
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