第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
教研室：基础教研室 教师姓名：
课程名称 电路（一） 换路定律，初始值的求法，由换路后的电路求时间常数。经典法求零输入响应、零状态响应和全授课专业及班次 电气工程及其自动化 授课内容 响应。一阶电路的三要素法，阶跃函数和阶跃响应，冲激函数和冲激响应。经典法求二阶电路零输入响应。 授课方式及学时 讲授、讨论，12学时 目的要求 熟练掌握一阶电路的经典法和三要素法。掌握二阶电路的经典法。了解一阶电路的阶跃响应和冲激响应。 重点与难点 重点：一阶电路的经典法和三要素法，二阶电路的经典法。 难点：用戴维宁定理求一阶电路。求含受控源电路时间常数。 （1）换路定律，初始值的求法。（2学时） （2）经典法求零输入响应、零状态响应。（2学时） 讲授内容及 时间分配 （3） 全响应、一阶电路的三要素法。（2学时） （4）阶跃函数和阶跃响应，冲激函数和冲激响应。（2学时） （5）经典法求二阶电路零输入响应。（2学时） （6） 习题讲解（2学时） 教 具 黑板、粉笔 参考资料
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
一、动态电路的方程
1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。
2.动态电路的方程：电路中有储能元件（电容或电感）时，根据KCL、KVL和VCR所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程，方程的阶数取决于电路结构和动态元件个数。
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路。
3.换路和过渡过程：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），称为换路，换路可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态，这种转变需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。
t?0 ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 0?；
t?0?：换路前的最终时刻； t?0?：换路后的最初时刻；
4.经典法（时域分析法）：根据KCL，KVL和VCR建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。 电路独立初始条件：uC(0?) 和 iL(0?)，其余称为非独立初始条件。
二、电路的初始条件
1.电容的电荷和电压
?q(t)?q(t)?ti(?)d?CC0?t0C?? ?t1?uC(t)?uC(t0)?iC(?)d???tC0?取 t0?0?, t?0?, 则
?q(0)?q(0)?0?i(?)d?C??0?C?C? ?
10??uC(0?)?uC(0?)??iC(?)d?c0??若 iC有限， 则
?0?0?iC(?)d??0，且
?qC(0?)?qC(0?) ?u(0)?u(0)C??C?2.电感的磁链和电流
??(t)??(t)?tu(?)d?LL0?t0L?? ?t?iL(t)?iL(t0)?1uL(?)d??L?t0?取 t0?0?, t?0?，则
??(0)??(0)?0?u(?)d?L??0?L?L? ?10??iL(0?)?iL(0?)??uL(?)d?L0??若uL（有限）， 则
?0?0?uL(?)d??0 , 且
??L(0?)??L(0?) ? i(0)? i(0)L??L?3.换路定则 uC(0?)?uC(0?)和 iL(0?)?iL(0?)
4.非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、电感电压）需要通过已知的初始条件求得。
5.确定初始值的方法
(1) 由t＜0时的电路， 求出uC(0-), iL(0-)； (2) 求出独立初始条件；
(3) 把电容用 uS?uC(0?) 的电压源代替，把电感用 iS?iL(0?)电流源代替；画出0+等效电路；
(4) 由0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。 例7-1 见教材p139例7-1
§7-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应。
一、 RC电路的零输入响应
电路的微分方程为
duC?RC?uC?0 t ? 0 ? ? dt??uC(0?)?uC(0?)?U0
t
duCU0?RC?e t?0 i(t)??CdtR这里，特征方程 RCs + 1 = 0，特征根 s??1 ，时间常数 ??RC。
RCU① ，换路时，i(0?)?0 ，但 i(0?)? 0，电流发生跃变；
R② 时间常数 ? 越小，电压、电流衰减越快，反之，则越慢；
t?0 时，uC(0)?U0e0?U0；
t?? 时,uC(?)?U0e?1?0.368 U0。 过渡过程的结束，理论上
； 工程上 t?(3?5) ?。
④ ??RC，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制；
⑤ 能量转换过程：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，最后，原来储存在电容的电场能量全部为电阻吸收并转换为热能。
二、RL电路的零输入响应
一阶RL电路如图(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图(b)所示。由于t>0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。
由KVL得
uL?uR?0uL?LdiL,uR?RiLdt
根据换路定律，得初始条件为
iL?iL(0?)e?tRL?I0e?tRLt?0
令τ=L/R，它同样具有时间量纲，是R、L串联电路的时间常数。这样，上式可表示为
iL?iL(0?)e由 ???t??I0e?t?t?0
L，L越小，或R越大，则电流、电压衰减越快。 R ① 零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性；
② 零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外施电源，原有的贮能总
是要逐渐衰减到零的；
例题 见教材p144 7-2至7-3
§7-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应：零初始状态下，由在初始时刻施加于电路的输入所产生的响应。
一、 RC电路的零状态响应
如图所示一阶RC电路，求解其电容两端的电压UC(t)。
U?u(t)i(t)?sCR
uR?uC?Usi?C
duCdu,uR?Ri?RCCdtdt duC11?uC?UsdtRCRC
其初始条件为
uC(0?)?0
通解为 uC?uCh(t)?uCp(t)
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