1．2.1 任意角的三角函数(第一课时)
[教材研读]
预习课本P11～15，思考以下问题 1．任意角的三角函数的定义是什么？
2．如何判断三角函数值在各象限内的符号？
3．诱导公式一是什么？ [要点梳理]
1．任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，前提 它的终边与单位圆交于点P(x，y) 正弦 y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y 定义 余弦 x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x 正切 yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)
1
三角 函数 2.三角函数值的符号 如图所示：
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负；
简记口弦：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．诱导公式一
即终边相同的角的同一三角函数值相等． [自我诊断]
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.( )
2
2．若sinα＝sinβ，则α＝β.( )
3．已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( ) [答案] 1.√ 2.× 3.√
题型一 任意角三角函数的定义及应用
思考：对于任意角α，sinα，cosα，tanα都有意义吗？
提示：对于任意角α，只有sinα，cosα都有意义，而终边落在y轴上时，tanα无意义．
(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值． [思路导引] 利用三角函数的定义求解．
[解析] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝5＋?－12?＝13，
2
2
y12x5y12
则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.
r13r13x5
(2)直线3x＋y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝?－1?＋?3?＝2，所以sinα＝
2
2
2
31
，cosα＝－，tanα＝－3；在第四象22
2
限取直线上的点(1，－3)，则r＝1＋?－3?＝2，所以sinα＝－＝－3.
12512
[答案] (1)－ － (2)见解析
13135
31
，cosα＝，tanα22
3
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．
方法二：
在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用． [跟踪训练]
设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于( )
2
A. 51C. 5
[解析] ∵点P在单位圆上，则|OP|＝1. 122
即?－3a?＋?4a?＝1，解得a＝±.
51
∵a<0，∴a＝－. 54??3
∴P点的坐标为?，－?.
5??543
∴sinα＝－，cosα＝. 55
4
2
B．－ 51D．－ 5
432
∴sinα＋2cosα＝－＋2×＝.
555[答案] A
题型二 三角函数在各象限的符号问题
思考1：任意角α的三角函数值的符号与角α的什么有关？ 提示：与角α终边所在的象限有关．
思考2：若三角函数值的符号确定，则角的终边所在象限也是唯一确定的吗？ 提示：不一定，若已知角α的一个三角函数值的符号，则角α所在的象限可能有两种情况，若已知角α的两个三角函数值的符号，则角α所在的象限就唯一确定．
确定下列各式的符号：
(1)sin105°·cos230°. 7π7π
(2)sin·tan.
88(3)cos6·tan6.
[思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．
[解] (1)因为105°，230°分别为第二、第三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0. 于是sin105°·cos230°<0. π7π
(2)因为<<π，
287π
所以是第二象限角，
87π7π则sin>0，tan<0.
887π7π
所以sin·tan<0.
88
5
(3)因为3π
2<6<2π，
所以6是第四象限角， 所以cos6>0，tan6<0， 则cos6·tan6<0.
正弦、余弦函数值的正负规律
[跟踪训练]
(1)点P(tanα，cosα)在第三象限，则α是第________象限角． (2)若三角形的两内角A，B，满足sinAcosB<0，则此三角形必为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都有可能
[解析] (1)由题意知，tanα<0且cosα<0， ∴α是第二象限角．
6
(2)由题意知，A，B∈(0，π)， ∴sinA>0，cosB<0，∴B为钝角． 故选B.
[答案] (1)二 (2)B 题型三 诱导公式一的应用 思考：诱导公式一的作用是什么？
提示：把任意角化为0°～360°范围内的角，即大化小后再求值．求下列各式的值：
(1)cos25π?15π?3＋tan??－4??； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.
[思路导引] 利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解．[解] (1)原式＝cos???8π＋π3???＋tan??π?－4π＋4???
＝cosππ13＋tan4＝2＋1＝3
2
.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋ cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋152＝2
.
利用诱导公式求任意角的三角函数的步骤
7
【温馨提示】 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.
[跟踪训练] 计算下列各式的值：
(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；
?11π?＋cos12π·tan4π. (2)sin?－
6?5??
[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝1＋6
＝. 4
π?2π?π2π1??(2)原式＝sin?－2π＋?＋cos?2π＋?·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝. 6?5?652??
课堂归纳小结
1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及诱导公式一的应用，难点是三角函数的定义及应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)任意角三角函数的定义及应用，见典例1； (2)三角函数在各象限的符号问题，见典例2；
8
231161
×＋×＝＋222244
(3)诱导公式一的应用，见典例3.
3．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误.
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( ) A.4
5 B.35 C．－35
D．－45
[解析] ∵x＝－4，y＝3，∴r＝?－4?2
＋32
＝5，
∴cosα＝x－44
r＝5＝－5
，故选D.
[答案] D
2．sin405°的值为( )
A．－2B.
22 2 C．－3D.
32
2
[解析] sin405°＝sin(360°＋45°)＝sin45°＝2
2
，∴选B. [答案] B
3．已知sinα＝34
5，cosα＝－5，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
[解析] sinα＝3
5
>0，∴α为第一或第二象限，
9
又∵cosα＝－4
5<0，∴α为第二或第三象限，
故α为第二象限角，选B. [答案] B
4．已知角α终边上一点P(5,12)，则sinα＋cosα＝________. [解析] ∵x＝5，y＝12，∴r＝52＋122＝13，
又∵sinα＝yr＝
1213，cosα＝xr＝5
13
∴sinα＋cosα＝12517
13＋13＝13
.
[答案]
1713
5．tan405°－sin450°＋cos750°＝________. [解析] tan405°－sin450°＋cos750°
＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan45°－sin90°＋cos30°
＝1－1＋
32＝32 [答案]
32
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