回扣9 矩阵与变换
1．矩阵乘法的定义
b11b11
一般地，我们规定行矩阵[a11 a12]与列矩阵?b?的乘法规则为[a11 a12]?b?＝[a11×b11＋
?21??21?
a11 a12?x0a11 a12??x0??a11×x0＋a12×y0?
a12×b21]，二阶矩阵?与列矩阵??的乘法规则为??a21 a22??y0??a21 a22??y0?＝?a21×x0＋a22×y0?.
一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个
x平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：??→
?y?
?x′?. ?y′?
2．几种常见的平面变换
(1)恒等变换．(2)伸压变换．(3)反射变换．(4)旋转变换．(5)投影变换．(6)切变变换． 3．矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念
对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A，A＝B. (2)逆矩阵的求法
一般地，对于二阶可逆矩阵A＝?(3)逆矩阵的简单性质
①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)＝BA. ②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C. (4)逆矩阵与二元一次方程组
??ax＋by＝m，
对于二元一次方程组?
?cx＋dy＝n，?
－1
－1－1
－1
－1
a b?－1
(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A＝错误!. ?c d?
若将X＝?y?看成是原先的向量，而将B＝?n?看成是经
xm????
a b过系数矩阵A＝?c d?(ad－bc≠0)对应的变换作用后得到的向量，则可将其记为矩阵方程
??
a b??x??m?－1－1
AX＝B，?＝，则X＝AB，其中A?c d??y??n?
4．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念
d－b ?ad－
bcad－bc?＝?. －ca??ad－bc ad－bc?设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征向量的几何意义
从几何上看，特征向量经过矩阵A对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了0向量． (3)特征多项式 设λ是二阶矩阵A＝?
a b?xxx的一个特征值，它的一个特征向量为α＝??，则A??＝λ??，?c d??y??y??y?
??ax＋by＝λx，x??即满足二元一次方程组?
?y??cx＋dy＝λy，?
???λ－a?x－by＝0，
故?
?－cx＋?λ－d?y＝0.?
(*)
由特征向量的定义知α≠0，因此x，y不全为0，此时Dx＝0，Dy＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必有D＝0，即?定义：设A＝?
λ－a －b?
?－c λ－d?＝0.
a ?c b?λ－a －b?2
是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝?＝λ－d??－c λ－d?
(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式． (4)求矩阵的特征值与特征向量
如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，它满足
x0?
f(λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解??y?，于是，非零
0
向量?y?即为A的属于λ的一个特征向量．
x0
?0?
1．矩阵的乘法不满足交换律：对于二阶矩阵A，B来说，尽管AB，BA均有意义，但可能AB≠BA.矩阵的乘法满足结合律：设M，N，P均为二阶矩阵，则一定有(MN)P＝M(NP)．矩阵的乘法不满足消去律：设A，B，C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.
2．关于乘法的消去律：已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.
3．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．
4．对于图象变换，一定要分清哪个是变换前的，哪个是变换后的，以及变换的途径，防止因颠倒而出错．
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