应用数学总复习题201104

总复习题201104

1. 极限 limtanx12. 函数f(x)?1x?92的间断点是

设y?sin2x?3cosx，则微分dy? ? 13.

x?0x2. 设函数f(x)?lnsinx2，则f?(x)? 3. 已知?f(x)dx?sin2x?C，则f(x)? 4.

?f?(3x)dx? . 5. 函数f(x)在x?x0处连续是f(x)在x?x0处可导的 条件

6. 定积分??cos3xsinxdx? ??7. 极限lim2x3?x2

x??x3?2x2? 8. 当x?0时，下列变量sinx(1?cosx)为x3的 阶无穷小

9. 函数f(x)?lnx在[0,2]上是单调 ?10.级数?(?1)n?1的敛散性 n?13n11. f(x2)?4x2?x2cosx2，则f(x)?

14. 设f(x,y)?5x3y2?2x，则?f(x,y)?x= 15. 设f'(x)?g(x)，则

ddxf(cos2x)? 16. 曲线y?x3在点（2，8）处的切线方程 17. 函数y?lnx?x3是f(x)的一个原函数，则f(x)= 18. 函数y?y(x)有方程4xy?x3?y2?0确定，则

dydx?

19. 求limx?sinx?

x?0x320. 设区域D为单位圆x2?y2?1内的区域，则??5dxdy= D三．解答题（共12小题，没每小题5分，共60分）

?x2?sinxx?021.讨论函数f(x)???0x?0在x?0处的连续性。 ??2ex?2x?0222.求极限lim(1?x2)1?cosxx?0

23. 设函数z?2x3y?xy2?x?sinxy?1，求全微分dz

1

24．求不定积分?25. 计算定积分?20sinlnxxdx

答案：

1、1；2、2xcotx2；3、sin2x；4、

13f(3x) 5、必要非充分 6、0

14x671?xdx 7、2； 8、同 9、递增 10、收敛 11、4x?xcosx ； 12、x??3 ； 13、?2cos2x?3sinx?dx 14、15x2y2?2 15、?g?cos2x?sin2x；16、y?12x?16；17、

1x?3x；18、?226. 计算函数y?x3?x2?x?1的单调区间及极值。

4y?3x227求函数y?x3?3x2?5的凹凸区间及拐点。

?4x?2y 19、； 20、5?

6128. 求幂级数?()的收敛半径。

n?1xn3129. 把函数y?1?xD2展开成为x的幂级数。

?x2?sinx?21.讨论函数f(x)??0?2ex?2?x?0?x?0x?0在x?0处的连续性。 x?02解： ?f?0??0,limf?x??lim?x?sinx??0

x?0x?30. 计算二重积分??2xdxdy，其中D是由直线y?0,y?x及x?1围成的平面区域。

31.计算y?x与直线y?0,x?4所围成的平面图形的面积。

232求y?x与直线x?2,y?0围成的平面图形绕x轴旋转一周生成的旋

3 limf?x??lim?2e?2??0

x?0?x?0??limf?x??0?f?0?

x?0故f?x?在x?0处连续

2转体的体积。

22.求极限lim(1?x)1?cosx

x?02解：

2

2lim(1?x)1?cosx?lim(1?x)x?0x?022??x1?cosx21?2x2?2xx?02?lime1?cosx?ex?01?cosx?elim?2x2limx?0?2xx22解：函数的定义域是(??,??)

?e

?42 令y??3x2?2x?1?0，得x1??x 1????,??? 3??x??1313,x2?1

23. 设函数z?2x3y?xy2?x?sinxy?1，求全微分dz 解：

?z?x?6xy?y?1?ycosxy，

22 ????,1? ?3?1x?1 ?1,??? + ?z?y?2x?2xy?xcosxy，

3y? y + — dz??6x2y?y2?1?ycosxy?dx??2x3?2xy?xcosxy?dy

24．求不定积分? 解：?sinlnxxsinlnxxdx

极大值f(?)?313227；极小值f(1)?0

dx??sinlnxdlnx??coslnx?c

6727求函数y?x3?3x2?5的凹凸区间及拐点。

2025. 计算定积分? 解：

14x1?xdx

解： y?x?3x?5 的定义域（-∞，+∞）

y??3x?6x

232 x y???6x?6?0,x?1

1

?2014x61?xdx?14?720x61?xdx?2?72011?xdx?2?7777d?x?1??2?lnx?1???01?x72120?2ln129(-∞,1) (1,+ ∞)

26. 计算函数y?x?x?x?1的单调区间及极值。

32y″ ? 0 + 3

y 拐点(1,3)

?? ? 解：s??40?x4?3xdx????64

?4?0432求y?x2与直线x?2,y?0围成的平面图形绕x轴旋转一周生成的旋

28. 求幂级数?()n的收敛半径。

n?1x3转体的体积。 解：V??

解：

xxn=()?3?3n； n?1n?11??n??x?2022?x5?32dx??????

55??02因为lim3n??n?11n?131 ，所以收敛半径R=3

329把函数y?11?x1?x2展开成为x的幂级数。

n?解：y?2???x?2n?0???xn?02n，?1?x?1

30. 计算二重积分??2xdxdy，其中D是由直线y?0,y?x及x?1围成的

D平面区域。 解：??2xdxdy?D?10dx?2xdx?0x?0?2xy?01x?x3?22dx??2xdx?2???

0?3?031131.计算y?x与直线y?0,x?4所围成的平面图形的面积。

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