2021版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法教案 文 新人教A版

1．不等式0

???x－x－2>0，?x－x－2>0，?2即?2 ?x－x－2≤4，??x－x－6≤0，?

???（x－2）（x＋1）>0，?x>2或x<－1，即?解得? ?（x－3）（x＋2）≤0，?－2≤x≤3.??

2

2

2

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2

2．解不等式ax－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

2

?1?解：因为a>0，原不等式等价于?x－?(x－1)<0.

?

a?

1?1?①当a＝1时，＝1，?x－?(x－1)<0无解；

a??

a?a?

11?1?②当a>1时，<1，解?x－?(x－1)<0得

aa11?1?③当01，解?x－?(x－1)<0得1

a?a?

a?1?综上所述，当0

?

a?

当a＝1时，解集为?；

?1?

当a>1时，解集为?x|

?

a?

一元二次不等式恒成立问题(多维探究) 角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围

若不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围

是 ．

【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0， 对一切x∈R恒成立．

??a－2<0，

当a≠2时，则? 2

?Δ＝4（a－2）＋16（a－2）<0，?

2

5

??a<2即?解得－2

所以实数a的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (－2，2]

一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c≥0 ax2＋bx＋c<0 ax2＋bx＋c≤0 a>0，Δ<0 a>0，Δ≤0 a<0，Δ<0 a<0，Δ≤0 角度二 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围

(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，

都有x－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是 ．

【解析】 设f(x)＝x－2(a－2)x＋a.

因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x－2(a－2)x＋a>0，

2

2

2

Δ≥0，

??1≤a－2≤5，

所以Δ<0或?解得1

f（1）≥0，??f（5）≥0，

【答案】 (1，5]

形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立问题的求解思路

(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；

(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围． 角度三 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围

求使不等式x＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．

【解】 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x－6x＋9>0. 令f(a)＝(x－3)a＋x－6x＋9，则－1≤a≤1.

2

2

2

6

因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以

(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x≠3，则由一次函数的单调性，

?f（－1）>0，??x－7x＋12>0，?可得?即?2

??f（1）>0，x－5x＋6>0，??

2

解得x<2或x>4.

则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．

形如f(x)>0或f(x)<0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

1．若函数y＝mx－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是 ． 解析：要使y＝mx－（1－m）x＋m有意义，即mx－(1－m)x＋m≥0对?x∈R恒成立，

??m>0，1则?解得m≥. 22

3?（1－m）－4m≤0，?

2

2

2

?1?答案：?，＋∞?

?3?

2．已知函数f(x)＝－x＋ax＋b－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，求实数b的取值范围．

解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.

2又因为f(x)的图象开口向下，

所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，

所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b－b＋1＝b－b－2， 若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立， 则b－b－2>0恒成立，解得b<－1或b>2.

所以实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

思想方法系列12 转化与化归思想在不等式中的应用

(2020·内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax－x－c>0的解集为{x|－2

数y＝f(－x)的图象为( )

7

2

2

2

2

2

2

a

?1?a＝－1，－2＋1＝，

a【解析】 由题意得?解得则函数y＝f(－x)＝－x＋x＋2，

c＝－2，

c－2×1＝－，??a??

???

2

a<0，

结合选项可知选C.

【答案】 C

本例利用了转化思想，其思路为：

(1)一元二次不等式ax＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根(如本例)，也是函数y＝ax＋bx＋c与x轴交点的横坐标．

(2)二次函数y＝ax＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在 x轴下方的部分，是由不等式ax＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．

设a，b是关于x的一元二次方程x－2mx＋m＋6＝0的两个实根，则(a－1)＋(b－1)的最小值是( )

49

A．－

4C．8

B．18 D．－6

2

2

2

22

2

2

2

2

2

解析：选C.因为关于x的一元二次方程x－2mx＋m＋6＝0的两个根为a，b， 所以?

??a＋b＝2m，

且Δ＝4(m－m－6)≥0，解得m≥3或m≤－2. ??ab＝m＋6，

2

2

?3?49所以y＝(a－1)＋(b－1)＝(a＋b)－2ab－2(a＋b)＋2＝4m－6m－10＝4?m－?－.

4?4?

2

2

2

2

由二次函数的性质知，当m＝3时，函数y＝4m－6m－10取得最小值，最小值为8.故选

8

2