高三数学一轮复习：立体几何练习题

(1)求证：D1E∥平面ACB1； (2)求证：平面D1B1E⊥平面DCB1； (3)求四面体D1B1AC的体积．

[解析] (1)连接BC1，则AD1綊BC1綊B1E， ∴四边形AB1ED1是平行四边形． ∴D1E∥AB1.

又AB1?平面ACB1，D1E?平面ACB1， ∴D1E∥平面ACB1.

(2)由已知得B1C＝B1E＝2，CE＝2，则B1C2＋B1E2＝4＝CE2.则B1E⊥B1C， 易知：CD⊥平面B1BCE，

而B1E?平面B1BCE，则CD⊥B1E， ∴B1E⊥平面DCB1，又B1E?平面D1B1E， ∴平面D1B1E⊥平面DCB1. (3)由图易知四面体D1B1AC的体积

V＝VABCD－A1B1C1D1－VA－A1B1D1－VB－ACB1－VC－B1C1D1－VD－ACD1 2?11?＝2－3×2×2×4＝3. ??

(理)(2010·青岛市质检)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME； (3)求证：平面BDE⊥平面BCD.

[解析] (1)由题意可知，四棱锥B－ACDE中， 平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC， 所以，AB⊥平面ACDE， 又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4， 则四棱锥B－ACDE的体积为 114＋2×2V＝3SACDE·AB＝3××2＝4. 2(2)连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，

1

又MN＝AE＝2CD，所以四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM， ∵AN?平面CME，EM?平面CME， 所以，AN∥平面CME.

(3)∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC， 又在直三棱柱中可知，平面ABC⊥平面BCD， ∴AN⊥平面BCD，

由(2)知，AN∥EM，∴EM⊥平面BCD， 又EM?平面BDE，所以，平面BDE⊥平面BCD.