江苏无锡省锡中2019届高三12月月考数学试卷（文）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．集合A＝{0，e}，B＝{﹣1，0，1}，若A
xB＝B，则x＝ ．
2．若复数z?(1?i)(1?ai)（i为虚数单位，a＞0）满足z?2，则a＝ ．
3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ．
4．函数f(x)?sinx?3cosx，x?[0，?]的单调减区间为 ． 5．执行如图所示的流程图，则输出S的值为 ．
6．设正△ABC的边长为1，t为任意的实数，则AB?tAC的最小值为 ． 7．已知x?0，y?0，且
12??1，则x?y的最小值为 ． xy8．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为是 ．
4?，则该三棱柱的体积3229．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x?y?8x?m?1?0与直线x?2y?1?0相交于A，B两
点．若△ABC为等边三角形，则实数m的值为 ． 10．等差数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，且数列 ．
?S?也为等差数列，则an10＝
x2y211．如图，已知抛物线y?2px(p?0)与双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，双曲线的焦
ab2距为2c，点A是两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为3，则双曲线的离心率为 ．
第5题 第11题
12．在平面凸四边形ABCD中，AB＝22，CD＝3，点E满足DE?2EC，且AE＝BE＝2．若
8AE?EC?，则AD?BC的值为 ．
513．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x?y?1，圆C：(x?4)?y?4，动点P
在直线x?3y?2?0上的两点E，F之间，过点P分別作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为 ．
2222?x2?,x?a14．已知函数f(x)??2e．若对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)?kx0成立，则实数
?lnx,0?x?a?a的取值集合为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
在△ABC中，A为锐角，且sinA＝． （1）若AC＝5，BC＝3，求AB的长； （2）若tan(A﹣B)＝?16．（本小题满分14分）
在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABCD，点M、F分别是线段AA1、BC的中点．
（1）求证：AF⊥DD1； （2）求证：AF∥平面MBC1．
351，求tanC的值． 2
17．（本小题满分14分）
为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）．以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数y?x?1(x?0)模型．园区服务中心P在x轴正半轴上，x
PO＝
4百米． 3（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度； （2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道直线段PQ最短．
18．（本小题满分16分）
33x2y2如图，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，并且椭圆经过点P(1，)，直线l的
22ab方程为x＝4．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线l于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数?，使得k1＋k2＝?k3？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)?2lnx?12x?ax(a?R)． 2（1）当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)有两个极值点，x1，x2，且x1?x2，x1?(0，1]，求证：
f(x1)?f(x2)?3?2ln2； 2（3）设g(x)?f(x)?lnax，对于任意a?(0，2)时，总存在x?[1，2]，使g(x)?k(a?2)?2成立，求实数k的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知?an?为等差数列，?bn?为等比数列，公比为q（q≠1）．令A＝kak?bk，k?N???．
（1）设A＝{1，2}，①当an?n，求数列?bn?的通项公式；②设a1?0，q＞0，试比较an与bn（n≥3）的大小？并证明你的结论．
（2）问集合A中最多有多少个元素？并证明你的结论．
参考答案
1．0 2．1 3．
35? 4．[，?] 5．6480 6． 7．3?22
21262397?2 12．2 13． 14．{e} 338．63 9．﹣11 10．19 11．
15．（1）AB的长为4；（2）tanC的值为
11． 216．（1）先由AB＝AC证AF⊥BC，再由平面BB1C1C⊥底面ABCD证AF⊥平面BB1C1C，从而AF⊥C1C，
进而AF⊥DD1；
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