【高数二】2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本(高数二)

2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学二

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间150分钟.

第Ⅰ卷(选择题，共40分)

一、选择题(1-10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

?2?1. lim?1??? （）x???x?A.?e2 B.-e C.e D.e2 2. 设函数y=arcsinx，则y?? （）A.?11?x2x B.

11?x2 C.?11 D. 1?x21?x23.设函数f?x?在[a,b]上连续.在(a.b)可导,f??x??0,f?a?f?b??0,则f?x?在(a,b)内零点的个数为 （ ）

A.3 B.2 C.1 D.0

（）4.设函数y?x3?ex，则y?4??

A.0 B.ex C.2?ex D.6?ex 5.

d1 dx?（）dx?1?x21 D.0 21?xA.arctanx B.arccotx C.6.?cos2xdx? （）1111A.sin2x?C B. ?sin2x?C C.cos2x?C D.?cos2x?C 2222（）7.?(2x?1)3dx?

01A.-10 B.一8 C.8 D.10

?z10（）8.设函数z??x?y?,则?， ?xA.?x?y? B.??1,1?

109

9

C.10?x?y? D.?10?x?y?

9.设函数z?2?x?y??x2?y2，则其极值点为（ ） A.(0，0) B.(一1.1) C.(1.1)

D.(1.一1)

10.设离散型随机变量X的概率分布为 X P

则a=（ ）

A.0.1 B.0.2

-1 2a 0 a 1 3a 2

4a

C.0.3 D.0.4

第Ⅱ卷(非选择题，共110分)

二、填空题(11-20小题，每小题4分，共40分)

f?x?11.当x?0时f?x?与3x是等价无穷小，则lim? 。 x?0xe2x?1? 。 12.limx?0x13.设函数f?x??x?x2，则f?(1)? 。

14.设x2为f(x)的一个原函数，则f(x)= 。

15.设函数y=lnsinx, 则dy= 。

116.?2dx? 。

x17.?cosxdx? 。 x18.?(xcos2x?2)dx? 。

?11?2zey? 。 19.设函数z?，则

?x?yx20.设函数z?sinx?lny,则dz? 。

三、解答题(21~28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤)

21.(本题满分8分)

x2?x计算lim2.

x??2x?1

22. (本题满分8分)

x设函数f?x??,求f??x?. 21?x

23. (本题满分8分) 计算?1(1?x)23dx.

24. (本题满分8分)

??1计算?dx.

exln3x

25.(本题满分8分)

一个袋中有10个乒乓球，其中7个橙色，3个白色，从中任取2个，设事件A为“所取的2个乒乓球颜色不同”，求事件A发生的概率P(A).

26.(本题满分10分)

设函数f?x??ax3?bx2?cx在x=2处取得极值，点(1.-1)为曲线y=f(x)的拐点，求a，b，c.

27.(本题满分10分)

已知函数f(x) 的导函数连续， 且f(1)?0,?xf(x)dx?4,求?x2f?(x)dx.

0011

28.(本题满分10分)

设函数z?

?z?z11?,证明：x2?y2?0 xy?x?y

参考答案及解析

一、选择题 1. 【答案】D

【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.

xx2x22?2?22?【解析】lim(1?)?lim(1?)??lim(1?)??e2

x??x??xxx??x??22.【答案】B

【考情点拨】本题考查了函教的导数公式的知识点.

?【解析】y???arcsinx??11?x2.

3.【答案】C

【考情点拔】本题考查了零点存在定理的知识点.

【解析】由零点存在定理可知.f(x)在(a，b)上必有零点.且函数是单调函敏，故其在(a.b)上只有一个零点. 4.【答案】B

【考情点拨】本题考查了高阶导数的知识点. 【解析】y??3x2?ex,y???6x?ex,y????6?ex,y?4??ex

5.【答案】C

【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点.

d11【解析】?dx?. 22dx1?x1?x6.【答案】A

【考情点拨】本题考查了不定积分公式的知识点.

11【解析】?cos2xdx??cos2xd?2x??sin2x?C

227.【答案】D

【考情点拨】本题考查了定积分的计算的知识点.

111111【解析】?(2x?1)3dx??(2x?1)3d(2x?1)??(2x?1)4?10.

0020248.【答案】C

【考情点拨】本题考查了偏导数的知识点.

?z9【解析】由偏导数公式可得?10?x?y?.

?x9.【答案】D

【考情点拨】本题考查了二元函数极值的知识点. 【解析】易知

?z?z?z?z?2?2x,?2?2y,令?0，?0.得驻点（1，-1）， ?x?y?x?y

?2z?2z?2z而2??2,2??2,?0,故??0-?-2???-2??-4?0, ?x?y?x?y因此（1，-1）是函数的极值点。10.【答案】A

【考情点拨】本题考查了概率的性质的知识点.

【解析】由概率分布的性质可知2a+a+3a+4a=10a=1.a=0.1.

二、填空题 11.【答案】3

【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.

f?x?f?x?f?x?【解析】由题可知lim?1,故lim?3lim?3. x?03xx?0x?0x3x12.【答案】2

【考情点拨】本题考查了极限的知识点.

e2x?12e2x?lim?2. 【解析】limx?0x?0x113.【答案】

32 4【考情点拨】本题考查了导函数的知识点. 【解析】f?(x)?1?2x2x?x2,因此f?(1)?1?2?132。 ?421?114. 【答案】2x

【考情点拨】本题考查了不定积分的原函数的知识点.

?【解析】由题意可知?f?x?dx?x2?C故f?x??(?f(x)dx)???x2?C??2x

15.【答案】cotxdx

【考情点拨】本题考查了微分的知识点.

cosx【解析】dy?d?lnsinx??dx?cotxdx

sinx116.【答案】??C

x【考情点拨】本题考查了不定积的计算的知识点，

111x?2?1?C???C 【解析】 ?2dx?x?2?1x17.【答案】2sinx?C

【考情点拨】本题考查了复合函数的不定积分的知识点. 【解析】?cosx1dx?2?cosx?dx?2?cosxdx?2sinx?C. x2x

18.【答案】4

【考情点拨】本题考查了定积分的计算的知识点.

【解析】?(xcosx?2)dx??xcosxdx?2x?1?112121?1?0?4?4.

ey19.【答案】 ?2

x【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.

?zey?2zey??2. 【解析】??2,?xx?x?yx20.【答案】cosxlnydx?sinxdy y【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点

【解析】dz?d(sinx?lny)?lnyd(sinx)?sinxd(lny)?cosxlnydx?

三、解答题

sinxdy. y111?limx?x1x??xx?21.lim2?lim? x??2x?1x??112?22?lim22x??xx21?1?x2?x?2x1?x2?. 22.f?(x)(1?x2)2(1?x2)223.令x?sint.??2?t??2,则有dx?costdt

?costdt??1dt?tant?C cos2t?1(1?x2)3dx??1?1?sint?23而t?arcsinx,故有?1(1?x)23dx?tant?C?tan(arcsinx)?C

??24.

???e??111dx??d(lnx)??233exlnxlnx2?lnx?e1? 225.A为所取的2个乒乓球颜色不同.即A表示所取的2个球中1个球是橙色，一

11C7?C37个球是白色.故P?A???. 2C1015

26.易知f?(x)?3a2?2bx?c,f??(x)?6ax?2b,由于f(x)在x=2处取得极值.则

f??2??12a?4b?c?0,点(1.-1)是y=f(x)的拐点.故有f?1???1,f???1??0.

?a?b?c??1,13即 ?解得a?,b??,c?0.

22?6a?2b?0,27.

?10f?(x)dx??x2df(x)?x2f(x)0??f(x)0010111

?f(1)?2?xf(x)dx?0?2?4??8?z1?z1??2,?2,故?xx?yy28.

?z?z11x2?y2??2?x2?2?y2?-1?1?0?x?yxy