球面上的几何性质

球面上的几何性质

余金荣

（华中师范大学数学与统计学学院 武汉430079）

自笛卡儿发明直角坐标系以来，我们就认识到：一对有序实数，可以将其在坐标系中用一个点表示。如今，我们已将数的研究范围从“实数”扩展到“复数”。通过有关的学习，我们知道一个复数z?x?iy也可以与坐标系中的一个点一一对应。这样将全体复数构成的集合在坐标系中进行表示，则形成了一个复平面，复平面中的每一个点唯一对应一个复数。

对于我们已经熟知的复平面及复数在其上的一些性质，现在想通过构造一个新的一一映射，使复平面上的点能够在一个三维球面上被表示，称为复数的球面几何表示。通过这样一个一一映射，我们可将对平面上的复数的研究转移到一个有限的三维空间上去，并在这个新的空间中讨论复数在其上的一些性质及关系。

为了讨论问题的需要，我们先引进一些定义和名词：

设两点z1，z2位于圆周K的两侧，并位于过圆心z0的同一条射线上，还满足z1?z0?z2?z0?R2，其中R为圆周K的半径，则称z1，z2关于圆周K对称（如图1所示）。

（图1）

现在要作出复数在球面上的几何表示。

建立三维直角坐标系O?xyu，在点坐标是(x,y,u)的三维空间中，把xOy平

?：x2?y2?u2?1．取定球面上一点面看作就是z?x?iy复平面。考虑球面SN(0,0,1)，称为北球极，其中S(0,0,?1)称为南球极。作连接N与xOy平面上的

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任意一点A(x,y,0)的直线，并且设这直线与球面的交点是A?(x?,y?,u?)，它满足。 x?2?y?2?u?2?1．那么A?称为A在球面上的球极投影（如图2）

（图2）

由于A(x,y,0)，A'(x?,y?,u?)及N(0,0,1)共线，我们有x:y:?1?x?:y?:u??1，从而

z?x?iy?x??iy?． 1?u又因为

(x?)2?(y?)21?(u?)21?u?． z?zz???22???(1?u)(1?u)1?u2并且

z?x?iy?x??iy?． 1?u?于是有

x??z?z1?z2,y??z?zi(1?z)2,u??z?11?z22????．（其中z为向量OA的模）

??{N}之间建立了一个双射(x,y,0)?(x?,y?,u?)．并且，如这样，在复平面?与S果一点z的模愈大，即z离O点愈远，那么它的球极射影就愈接近于球极N（如

?为复球面． 图2）． 称图2中的球面S另外，其中与N点对应的复平面上的带内在无穷远处，我们称这一点为复平面上的无穷远点，记为?，而加入了无穷远点的复平面称为扩充复平面．由于扩充复平面比较复杂，超出了我们想要讨论的范围，在这里就不多做说明，有兴趣的读者请参阅文献[2]．

我们通过建立三维直角坐标系构造复平面与复球面之间的一一映射，使复平

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面上的点的表示与复球面上的点的表示可以相互转换，那么是否在复平面上具有一定关系的两个点，将它们映射到复球面上时也具有相应的关系呢？我们下面的讨论正是为此展开的。

定理1 在复平面z中，设圆周C：z???R，z1和z2关于圆周C对称，则

z1和z2的球极投影点到圆周z???R的球极投影所在平面距离相等的充要条件是：

(1?z1)(?z2??z2?d?z2)?(1?z2)(?z1??z1?d?z1)?0，

2222其中d???R2．

证明： 复平面上的圆周z???R的球极投影所在的平面是

K：?(???)x?i(???)y?(1?d)u?1?d?0[1]．

2由几何的知识易知z1和z2在球极投影上分居K的两侧，因此z1和z2的球极投影点分别设为Z1和Z2，到K的距离相等的充要条件是Z1和Z2的中点在K上。而

Z1和Z2的中点在K上的充要条件是：

z1?z1?(???)?1?z122?2z2?z21?z222??i(???)?z1?z12i1?z1?i?1?z?22?2z2?z2z1?1?(1?d)?等价于

1?z12?2z2?11?z22

??1?d??0??(z1?z1z2)??(z2?z2z1)??(z1?z1z2)??(z2?z2z1)?(2z1等价于

22222z2?2d)?(1?d)(z1?z2)?0222

?z1(1?z2)??z2(1?z1)??z1(1?z2)??z2(1?z1)?2(z1等价于

22222z2?d)?(1?d)(z1?z2)?0222

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(1?z1)(?z2??z2?d?z2)?(1?z2)(?z1??z1?d?z1)?0．证毕。

2222通过讨论复平面上具有一定关系（关于某个圆周对称）的两点，将它们投射到复球面上以后，它们的球极投影之间也具有一定的关系。另外从定理1的结论中我们注意到下述等式：

?zi??zi??zi???zi??则可得到以下推论1．

222(i?1,2)

推论1 设圆周C:z???R，d???R2，z1和z2关于圆周C对称，则z1和z2的球极投影Z1和Z2到圆周C的球极投影所在的平面K的距离相等的充要条件是

(1?z1)(2z2???d?z2??)?(1?z2)(2z1???d?z1??)?0．

222222222在定理１中，我们考虑的是复平面中圆周的一般方程z???R，现将它简化，得到如下推论：

推论2 设圆周C:z?R，z1和z2关于圆周C对称，则z1和z2的球极投影Z1和Z2到圆周C的球极投影所在的平面K的距离相等的充要条件是R?1．此时z1和z2的球极投影Z1和Z2关于平面K对称．

证明 在定理1中取??0，可以得到：z1z2?R2． 则Z1，Z2到平面K的距离相等的充要条件是：

(1?z1)(z2?R2)?(1?z2)(z1?R2)?0

2222等价于

(1?z1)(2R4z12?R)?(1?2R4z12)(z1?R2)?0

2等价于

?R2z1?R4?R2z1?R4z1?R2z1?z1?R6?R4z1?0

242242等价于

R2z1(R2?1)?z1(1?R2)?R4(1?R2)?R2z1(R2?1)?0

242等价于

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