[专业资料]新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.3.3 含解析

最新资料 所以当t=

√22时,φ(x)min=+ln 2>0,

√21212即|MN|min=φ(x)min.故|MN|取最小值时t=答案D

2.

6已知两个和为48的正整数,若第一个数的立方与第二个数的平方之和最小,则这两个正整数分别为 . 解析设第一个数为x,则第二个数为(48-x),记y=x3+(48-x)2=x3+x2-96x+2 304(0

由y'=0,得x=易知x=

16

是函数在区间(0,48)内唯一的极小值点,也是最小值点. 316

或x=-6(舍去), 3但因为x是正整数,所以x=5.

所以所求的两个正整数分别为5与43. 答案5与43

7设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域内的单调性;

(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时x的值. 解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1+a-2x-3x2.

令f'(x)=0,得x1=

-1-√4+3??, 3x2=

-1+√4+3??,x1x2时,f'(x)<0; 当x10.

故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增,即f(x)在(-∞,

-1-√4+3??, 3-1-√4+3??-1+√4+3??)和(,+∞)内单调递33减,在(

-1+√4+3??)内单调递增. 3(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.

①当a≥4时,x2≥1.

由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增.所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.

②当0

由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减. 所以f(x)在x=x2=

-1+√4+3??处取得最大值. 3部编本试题，欢迎下载！ 最新资料 又f(0)=1,f(1)=a,

所以当0

当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1

8已知函数f(x)=ln x-.

????

(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值;

(3)设g(x)=ln x-a,若g(x)

分析(1)判定函数的单调性要注意函数的定义域;(2)根据函数的单调性与最值的关系求解,由于a的取值未定,因此要分类讨论;(3)转化为最值问题来处理. 解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=+

(2)由(1)知f'(x)=

??+??

. ??2321??????+??

=2.因为a>0,x>0,所以f'(x)>0,因此f(x)在(0,+∞)内是递增函数. 2????3

2①若a≥-1,则x+a≥0,从而f'(x)≥0(只有当a=-1,x=1时,f'(x)=0),即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为

增函数.所以f(x)的最小值为f(1)=-a=,即a=-,不符合题意,舍去.

32②若a≤-e,则x+a≤0,从而f'(x)≤0(只有当a=-e,x=e时,f'(x)=0),即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减

函数.所以f(x)的最小值为f(e)=1-=,即a=-,不符合题意,舍去.

??e32e2③若-e

当-a0,即f(x)在(-a,e)内为增函数,所以x=-a是函数f(x)在(1,e)内的极小值点,也就是它的最小值点,因此f(x)的最小值为f(-a)=ln(-a)+1=,即a=-√e.综上,a=-√e.

(3)g(x)ln x-x2,故g(x)ln x-x2在(0,e]上恒成立. 令h(x)=ln x-x2,则h'(x)=-2x=

√2√2321??√21-2??2

,由h'(x)=0及0

2时,h'(x)>0;当

√2√22

2)内为增函数,在(

2,e]上为减函数,所以当x=

2时,h(x)

取得最大值为h(

2)=ln

2?.

√21

2所以当g(x)

122-,+∞).

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