2007年考研数学一真题
一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)当??→0+时，与√??等价的无穷小量是
(A)1????√?? (B)????
1+??1?√?? (C)√1+√???1 (D)1???????√?? 【答案】B。 【解析】 (当??→0+)时
????1+??1?√??=[????(1+??)?????(1?√??)]~√?? ??√??~?
11
√√??1+√???1~√??1???????√??~??
22几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较
(2)曲线??=+?????(1+????)渐近线的条数为
??1
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】D。 【解析】
由于
????????=??????+????(1+????)=∞，
??→0
??→0??
1
则??=0是曲线的垂直渐近线； 又????????=??????[+????(1+????)]=0
??→?∞
??→?∞??
1
1
????????=??????[+????(1+????)]=+∞ ??→+∞??→+∞??所以??=0是曲线的水平渐近线；
斜渐近线：由于?∞一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在+∞一侧。
+????(1+????)??1????(1+????)??
??=??????=??????=??????2+?????? ??→+∞????→+∞??→+∞????→+∞????????
=0+??????=1
??→+∞1+????1
??=??????(?????)=??????[+????(1+????)???]
??→+∞??→+∞??1
=??????[+????(1+????)?????????] ??→+∞??11
=??????[+????(1+??)]=0 ??→+∞????则曲线有斜渐近线??=??，故该曲线有三条渐近线。 综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
(3)如图，连续函数??=??(??)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2,0],[0,2]上的图形分别是直径
1
为2的下、上半圆周，设??(??)=∫0??(??)????,则下列结论正确的是 (A)??(3)=???(?2)
43
??
(B)??(3)=??(2)
4
5
(C)??(?3)=??(2)
4
3
(D)??(?3)=???(?2)
4
5
【答案】C。 【解析】 【方法一】
?? ??=??(??) ?? -3 -2 -1 0 1 2 3 四个选项中出现的??(??)在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定
????3
??(3)=∫??(??)????=∫??(??)????+∫??(??)????=?=??
288002
??
??(2)=∫??(??)????= 20
????
??(?2)=∫??(??)?????∫??(??)????=?(?)= 220?2????3
??(?3)=∫??(??)????=?∫??(??)????=?[?]=??
8280?3
则??(?3)=??(2)
43
?3
0
?2
02
3
2
3
【方法二】
由定积分几何意义知??(2)>??(3)>0,排除(B)
又由??(??)的图形可知??(??)的奇函数，则??(??)=∫??(??)????为偶函数，0从而
??(?3)=??(3)>0,??(?2)=??(2)>0
显然排除(A)和(D),故选(C)。 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用
(4)设函数??(??)在??=0处连续，下列命题错误的是 ．．(A)若??????(B)若??????
??→0
??(??)??→0??
??(??)+??(???)
????(??)
??
存在，则??(0)=0
存在，则??(0)=0
(C)若??????
(D)若??????
??→0
??→0??
??(??)???(???)
??
存在，则??′(0)存在
存在，则??′(0)存在
【答案】D。 【解析】 (A)：若??????
??→0
??(??)??
存在，因为????????=0,则????????(??)=0,又已知函数
??→0
??→0
??→0
??(??)在??=0处连续，所以????????(??)=??(0),故??(0)=0,(A)正确； (B)：若??????
??→0
??(??)+??(???)
??
存在，则??????[??(??)+??(???)]=??(0)+??(0)=
??→0
0,则??(0)=0，故(B)正确。 (C)??????
??→0
??(??)??
存在，知??(0)=0，则??????
??(??)
??→0??
=??????
??→0
??(??)???(0)
??
=??′(0)
则??′(0)存在，故(C)正确 (D)??????
??→0
??(??)???(???)
??
=??????[
??→0
??(??)???(0)
??
?
??(???)???(0)
??
]存在，
不能说明??????
??→0
??(??)???(0)
??
存在
例如??(??)=|??|在??=0处连续， ??????
??→0
??(??)???(???)
??
存在，但是??′(0)不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (5)设函数??(??)在(0,+∞)内具有二阶导数，且??′′(??)>0,令????=??(??)(??=1,2,?),则下列结论正确的是
(A)若??1>??2,则{????}必收敛 (B)若??1>??2,则{????}必发散 (C)若??1
图示法：由??′′(??)>0，知曲线??=??(??)是凹的，
显然，图1排除选项(A)，其中????=??(??)→?∞；图2排除选项(B)；图3排除选项(C),其中????=??(??)→+∞；故应选(D)。
?? ??1??2 ?? ??1??2 ?? ??1??2 ?? O 1 2 O 1 2 ?? O 1 2 ?? 图1图2 图3
【方法二】
排除法：取??(??)=(???2)2,显然在(0,+∞)，??′′(??)=2>0,??(1)=
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