一次购物量 顾客数/人 结算时间/(分钟/人) 1至 4件 5至 8件 30 1.5 9至 12件 25 2 13至 16件 17件及以上 10 3 x 1 y 2.5 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率). 解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
＝1.9(分钟).
100
(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得
P(A1)＝153303251
＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝. 10020100101004
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3彼此是互斥事件， 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) 3317
＝＋＋＝. 2010410
7
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 10
规律方法 (1)①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.
②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误. (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.
【训练3】 某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)；
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(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 1101
解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，
1 0001 000100
P(C)＝
501＝. 1 00020
111，，. 1 00010020
故事件A，B，C的概率分别为
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝
A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝
1＋10＋5061
＝.
1 0001 000
61
. 1 000
故1张奖券的中奖概率为
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－?
?1＋1?＝989. ??1 000100?1 000
989
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
1 000
[思想方法]
1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
2.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生. 3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反). [易错防范]
1.易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数.
2.正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，
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但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
3.需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.
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