综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：（1+5，1）或（1﹣5，1）或（1+3，2）或（1﹣3，2）．
点睛：本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等，能正确地利用数形结合思想、分类讨论思想等进行解题是关键. 20．（1）【解析】 【分析】
（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出|k|=1，进而得到反比例函数的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A′B的长；利用待定系数法求出直线A′B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标． 【详解】
（1）∵反比例函数 y= =（k＞0）的图象过点 A，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，
（2）（0，）
∴|k|=1，
∵k＞0， ∴k=2，
故反比例函数的解析式为：y=；
(2)作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′B，交 y 轴于点 P，则 PA+PB 最小．
由，解得，或，
∴A（1，2），B（4，），
∴A′（﹣1，2），最小值 A′B= =，
设直线 A′B 的解析式为 y=mx+n，
则 ，解得，
∴直线 A′B 的解析式为 y= ，
∴x=0 时，y= ，
∴P 点坐标为（0，）．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA+PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键． 21．（1）证明见解析；（2）53 ； 【解析】 【分析】
（1）根据正方形的性质得到∠GAD=∠EAB，证明△GAD≌△EAB，根据全等三角形的性质证明；（2）根据正方形的性质得到BD⊥AC，AC=BD=52，根据勾股定理计算即可． 【详解】
+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD， （1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°∴∠GAD=∠EAB，
?AC?AE?在△GAD和△EAB中，??GAD??EAB，
?AD?AB?∴△GAD≌△EAB， ∴EB=GD；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AB=5， ∴BD⊥AC，AC=BD=52，
∴∠DOG=90°，OA=OD=
152BD=， 22∵AG=22 ， ∴OG=OA+AG=
92， 2由勾股定理得，GD=OD2?OG2=53， ∴EB=53． 【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线相等、垂直且互相平分是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G．先证明∠OAD=90°，从而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可证明△ADO≌△GDO，则OA=OG=r，则DC是⊙O的切线；
（2）连接OF，依据垂径定理可知BE=EF=1，在Rt△OEF中，依据勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的长，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求解即可． 试题解析： (1)证明：
过点O作OG⊥DC，垂足为G．
3 2
∵AD∥BC，AE⊥BC于E， ∴OA⊥AD．
∴∠OAD=∠OGD=90°． 在△ADO和△GDO中
??OAD＝?OGD???ADO＝?GDO， ?OD＝OD?∴△ADO≌△GDO． ∴OA=OG．
∴DC是⊙O的切线． （2）如图所示：连接OF．
∵OA⊥BC， ∴BE=EF=
1 BF=1． 2在Rt△OEF中，OE=5，EF=1， ∴OF=OE2?EF2?13， ∴AE=OA+OE=13+5=2． ∴tan∠ABC＝
AE3?. BE2【点睛】本题主要考查的是切线的判定、垂径定理、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
22a?b+2ab23．（1）①a2+b2；②；（2）1503＋4752＋475.
4【解析】 【分析】
（1）①由条件可知AC为直径，可知BD长度的最大值为AC的长，可求得答案；②连接AC，求得AD2＋CD2，利用不等式的性质可求得AD?CD的最大值，从而可求得四边形ABCD面积的最大值； （2）连接AC，延长CB，过点A做AE⊥CB交CB的延长线于E，可先求得△ABC的面积，结合条件可求得∠D＝45°，且A、C、D三点共圆，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交圆O于点D'，交AC于F，FD'即为所求最大值，再求得 △ACD′的面积即可． 【详解】
（1）①因为∠B＝∠D＝90°，所以四边形ABCD是圆内接四边形，AC为圆的直径，则BD长度的最大值为AC，此时BD＝a2+b2，
②连接AC，则AC2＝AB2＋BC2＝a2＋b2＝AD2＋CD2，S△ACD＝
111AD?CD≤（AD2＋CD2）＝（a2＋24411a2?b2+2ab22
b），所以四边形ABCD的最大面积＝（a＋b）＋ab＝；
4242
（2）如图，连接AC，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E，因为AB＝20，∠ABE＝180°
－∠ABC＝60°，所以AE＝AB?sin60°＝103，EB＝AB?cos60°＝10，S△ABC＝BC＝30，所以EC＝EB＋BC＝40，AC＝1AE?BC＝1503，因为2，∠BAD＋∠BCDAE2+EC2＝1019，因为∠ABC＝120°
＝195°，所以∠D＝45°，则△ACD中，∠D为定角，对边AC为定边，所以，A、C、D点在同一个圆上，做AC、CD中垂线，交点即为圆O，如图，
当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交圆O于点D’，交AC于F，FD’即为所求最大值，连接OA、OC，∠AOC＝2∠AD’C＝90°，OA＝OC，所以△AOC，△AOF等腰直角三角形，AO＝OD’＝538，OF＝AF＝
1AC＝519,D’F＝538＋519，S△ACD’＝AC?D’F＝519×22（538＋519）＝4752＋475，所以Smax＝S△ABC＋S△ACD＝1503＋4752＋475. 【点睛】
本题为圆的综合应用，涉及知识点有圆周角定理、不等式的性质、解直角三角形及转化思想等．在（1）中注意直径是最长的弦，在（2）中确定出四边形ABCD面积最大时，D点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，计算量很大，难度适中． 24．（1）袋子中白球有2个；（2）见解析，【解析】 【分析】
（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程：
5 . 9x2?，解此方程即可求得答案； x?13（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】
解：（1）设袋子中白球有x个， 根据题意得：解得：x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解， ∴袋子中白球有2个； （2）画树状图得：
x2?， x?13
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