《三角形的内角和》的磨课历程
师：看来同学们对于书本上给出的量、折、撕等方法产生了疑问了，觉得这些方面有着局限性。我们能不能找到另外的办法去证明呢？ 师：三角形按角分一共有几类？我们就一类一类地进行证明，你们说这办法可行吗？ （1）证明：直角三角形的内角和等于1800。 （2）证明：锐角三角形的内角和等于1800。 （3）证明：钝角三角形的内角和等于1800。 小结：现在我们可以说任意三角形的内角和都是1800。 ……
反思 ⊙“猜想”牵强附会
在学习三角形内角和这一知识之前，学生从书本上、家长老师的口中已知道三角形内角和的度数是180度。而且作业本以及其他练习题已有这一知识的习题。因此在本次试教中学生基本没有猜想，以结论判断问题，根本没有达成之前的预设。
⊙“180度”根深蒂固
本次试教的班级是位于城郊结合处，学生的数学素养与城区略有不同。不仅在猜想这个环节中，学生受到“三角形内角和是180度”这一定论的影响。在后面量度数这个环节中，学生量出的结果不是180度，他们也会擦掉重新修改数据，使它刚好是180度。在“撕一撕”这个环节也一样，学生对于拼成的角一致认为都是平角，正好是180度。所以，在证明这一环节的引入非常生硬，探究过程也非常艰难。教学的效果与第一次截然不同。教师的尝试中发现对于不同的班级，相同的设计会产生截然不同的效果。
尝试三：合情“猜想” 分层“验证”
困惑 第一次试教可谓比较顺利，第二次试教却可以用“糟糕”两字来形容，教学似乎回到了起点。笔者在痛苦地思考与分析研究中，很多想法推倒了又重来，不断地反复。心中的困惑越来越多： ⊙仍是“猜想”
不可否认猜想是极具思维价值的，在本课中尝试猜想同时渗透极限思想的本
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意是好的。但是如何引导学生的合情猜想，使猜想避免流于形式，真正体现它的价值呢？ ⊙仍是“证明”
进行证明的尝试起初是缘于学生的质疑，为学有余力的学生提供思考的阶梯。可是学生没有提出质疑，那么证明的引入该如何把握？过于强调证明而弱化最基本的实验方法是否过头？ ⊙个 体 差 异
学生由于各种原因造成学习水平的差异是不容忽视的，数学学科尤为明显。如何能照顾学习能力较弱的学生的水平，又能考虑中等学生的学习能力，同时又满足优等生的学习需求呢？在此教学内容上把什么作为普遍性的方法让所有学生接受？又如何为学有余力的学生提供思考的阶梯，进行更深层次的探究？
笔者不断研磨教材，不断分析课堂，不断提出假设并不断推翻原有方案，最终确定模拟经历古人的猜想过程来达到合情猜想的目的。用分层验证满足各层次学生的要求。
实践 【教学片段】
课前游戏——超级变、变、变 师：今天，我们来做一个游戏，游戏的名称叫做“你中有我，我中有你”。做这个游戏之前，先让我们来见一位老朋友。它是谁？你了解多少呢？ 生：长方形有四条边，四个角都是直角。 师：那么它的四个角的和是多少？ 生：360度。 师：长方形带来了三位好朋友。它们分别是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形。游戏就在它们四个朋友之间展开的。看，在长方形中划一条对角线，就出现了两个直角三角形。你会玩吗？ 比一比，谁的方法最多。 一、模拟古代的猜想过程 师：我们学了三角形的哪些知识？（板书：三角形） 师：三角形的三个角是哪三个？ 它们就是三角形的三个内角。（板书：内角） 师：同学们，现在时光倒流，回到很久很久以前。人们还不知道三角形三个内角的和是多少？有两个人正在讨论呢？一个人说：“我认为三角形的内角和会变化的。”另一个说：“我认为三角形内角和是确定的。”你觉得谁说得对。请你
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拉拉牛筋思考一下。 生：我同意另一个人。因为三角形每个角虽然在变化。但是有的角变大了，有的角却变小了。 师：他们听了你的意见觉得很有道理。（板书：定数）一个人说：“我认为三角形内角和是肯定不会超过360度。”另一个人说：“我认为三角形肯定不会小于90度。”你是怎么想的？ 生：我觉得三角形内角和在270度和90度之间。因为三角形里有一个钝角，肯定大于90度，三角形内不可能有三个直角，所以肯定小于270度。（板书：大于90度小于270度） 师：你说得很有道理。让我们看大屏幕。（课件演示）当三角形的一个顶点向对边不断地靠近，三角形的三个角发生了什么变化？ 生：三角形一个角接近180度，另外两个角接近0度。 师：当等腰三角形的一个顶点不断向远处延伸，三个角又会发生什么变化？ 生：三角形一个角慢慢变成0度，另外两个角接近90度。 师：你想说什么？ 生：三角形的内角和很有可能是180度。（板书：接近180度） 师：事实上，三角形的内角和就是180度。知道的同学举手！你是怎么知道的？ 生：老师告诉我们的。 师：你曾经有过疑问吗？（点头）。我要表扬你，不盲目相信老师的话。 今天，我们要验证给古人看一看，三角形的内角和到底是几度？你有什么好方法吗？ 二、猜想验证 自主探究 1、讨论方法 我们有什么方法来证明我们的猜想对还是不对呢？请小组讨论一下。 量一量 、折一折（直角三角形和一般三角形）、拼一拼（三个角拼一拼、六个相同的三角形拼一拼变成长方或平行四边形）。 2、选择2种方法进行验证 小组合作 3、反馈交流 量 ： 师：用量一量这个方法的举手。你们有没有受180度的干扰？（都摇头）尊重事实是一个研究者最重要的精神。你们算出的内角和是几度？ 板书：178度 179度 181度 183度 176度 180度 师：面对这么多的数据，你有什么想说的？ 生：为什么量的会不一样呢？ 师：因为在实验的过程中，会受到各种因素的影响，比如尺不标准，量的方法不准确。所以得出的结果往往不同。我们可以用计算平均数的方法来找到一个
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相对精确的数。 拼： 师：用拼一拼这个方法的举手。请你们上来展示一下。 学生展示。 师：其他同学有什么想法？ 生：老师，我觉得拼出来好象有点细缝。如果是179度，看起来也像一个平角呀。 折： 师：用折一折这个方法谁愿意来说一说？ 学生展示。 师：折的时候要注意什么？ 生：上面对折下来的线要与底边平行。左右对折的时候要与底边垂直。 三、尝试证明 师：刚才同学们提到量、拼等方法存在一些问题，觉得这些方面有着局限性。老师真的非常佩服你们这种大胆质疑的勇气和严谨的科学精神。那么我们该如何用更科学严谨的方法证明三角形的内角和呢？ 师：直角三角形能不能请它的好朋友长方形来帮帮忙？ 证明：直角三角形的内角和等于1800。 小组讨论探究、汇报。 把一个长方形沿对角线剪开（如图），得到2个完全相同的直角三角形。因为长方形的4个角都是直角，它的内角和是3600。所以每个直角三角形的内角和等于3600÷2＝1800。从而可以证明：直角三角形的内角和等于1800。 师：同学们，你们真了不起，你们用证明的方法得出“直角三角形的内角和等于1800。”有一位科学家在12岁时就发现“任何三角形的三个内角和是1800。他就是帕斯卡。（介绍帕斯卡） 师：希望大家能像帕斯卡一样爱学数学。现在你认为三角形的内角和就是180度，那么你就用这个结论来挑战一二两个星级。如果你还不能说服自己，那么请你先挑战三星级，证明锐角三角形和钝角三角形的内角和是180度，再应用这个结论解决一二星级。 四、分层练习 ◎选择你们组挑战的星级。 ☆：小组内每一位同学出一题，并解答。组长批改。 （1）已知三角形的两个内角的度数分别是（ ）、（ ），第三个内角的度数是（ ）。 （2）已知三角形的两个内角的度数分别是（ ）、（ ），第三个内角的度数是（ ）。 （3）已知三角形的两个内角的度数分别是（ ）、（ ），第三个内角的度数是（ ）。 （4）已知三角形的两个内角的度数分别是（ ）、（ ），第三个内角的度数是（ ）。 ☆☆：
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